Si $f:X\to Y$ con $A_{1},A_{2}\subset X$ , demuestran que $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ .

Question

¿Podría alguien ver si mi solución está bien?

Si $f:X\to Y$ con $A_{1},A_{2}\subset X$ , demuestran que $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ .

Dejemos que $y\in f(A_{1}\cup A_{2})$ . Entonces existe un $x\in A_{1}\cup A_{2}$ tal que $f(x) = y$ . Entonces $x\in A_{1}$ o $x\in A_{2}$ . Si $x\in A_{1}$ entonces $y\in f(A_{1})$ . Si $x\in A_{2}$ entonces $y\in f(A_{2})$ . En cualquier caso, $y\in f(A_{1})\cup f(A_{2})$ . Entonces $f(A_{1}\cup A_{2})\subset f(A_{1})\cup f(A_{2})$ .

Dejemos que $y\in f(A_{1})\cup f(A_{2})$ . Entonces $y\in f(A_{1})$ o $y\in f(A_{2})$ . Si $y\in f(A_{1})$ entonces existe un $x\in A_{1}$ tal que $f(x) = y$ . Entonces $x\in A_{1}\cup A_{2}$ . Entonces $y\in f(A_{1}\cup A_{2})$ . Si $y\in f(A_{2})$ entonces existe un $x\in A_{2}$ tal que $f(x) = y$ . Entonces $x\in A_{1}\cup A_{2}$ . Entonces $y\in f(A_{1}\cup A_{2})$ . En cualquier caso, $y\in f(A_{1}\cup A_{2})$ . Entonces $f(A_{1})\cup f(A_{2})\subset f(A_{1}\cup A_{2})$ .

Answer 1

Su prueba es buena y detallada.

Parte de ella podría modificarse al observar que $$A_1 \subseteq A_1 \cup A_2 \implies f(A_1)\subseteq f(A_1 \cup A_2).$$

Asimismo, $$A_2 \subseteq A_1 \cup A_2 \implies f(A_2)\subseteq f(A_1 \cup A_2).$$