¿Por qué el **lugar complejo** de $\mathrm{arg}(z)=\theta$ ¿una media línea, y no una línea?

Question

Sé que el lugar de $\mathrm{arg}(z)=\theta$ es una semirrecta con ángulo $\theta$ pero no estoy seguro de por qué.

Puedo empezar la prueba: $$ z=x+iy $$ $$ \theta=\mathrm{arg}(z)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right) $$ $$ \tan(\theta)=\frac{y}{x} $$ $$ y=x\cdot \tan(\theta) $$ Lo que me dice que el locus es un línea con gradiente $\tan(\theta)$ de paso $(0,0)$ pero sé que debería ser un media línea con gradiente $\tan(\theta)$ a partir de $(0,0)$ .

¿Por qué?

Answer 1

Piensa en las coordenadas polares. ¿Cuál es el lugar geométrico de los números complejos cuyo argumento es un número determinado? Elige un número como 45 grados e intenta dibujarlo. Ahora añade 180 grados a este número e inténtalo de nuevo.