Por qué $K[x,y]$ y $K[x,y,z]/(xz-y^2)$ no son isomorfos como anillos?

Question

Dejemos que $K$ sea un campo algebraicamente cerrado, por qué $K[x,y]$ y $K[x,y,z]/(xz-y^2)$ no son isomorfos como anillos?

Answer 1

$K[x,y]$ es un anillo regular (todas sus localizaciones son regulares). El anillo local de $K[x,y,z]/(xz-y^2)$ en el origen $(0,0,0)$ no es regular: El ideal máximo $\mathfrak m$ no puede ser generado por dos elementos, ni siquiera mod $\mathfrak m^2$ .