¿Cómo utilizar la diferenciación implícita en arctan?

Question

Y = $tan^{-1}$ (2x-1).

Es $tan^{-1}$ ¿Arctan?

Es $\frac{1}{x^2+1}$ ?

¿Significa esto que la respuesta es $\frac{1}{4x^-2+1}$ ¿puesto que la regla de la cadena es 1?

Answer 1

$$y=\tan^{-1}(2x-1)$$ $$\tan(y)=\tan(\tan^{-1}(2x-1))=2x-1$$ Diferenciando con respecto a x (usando la regla de la cadena): $$\frac{d\tan y}{dy}\frac{dy}{dx}=2$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{\frac{d\tan y}{dy}}=\frac{2}{\sec^2y}=\frac{2}{\sec^2(\tan^{-1}(2x-1))}=2\cos^{2}(\tan^{-1}(2x-1))$$ Pero $\tan^{-1}(2x-1)$ es el ángulo que tiene $2x-1$ como tangente, por lo que, por lógica geométrica, encontramos el coseno de dicho ángulo por la definición geométrica de tangente y la sencilla fórmula $$\cos a=\frac{\mathrm{side of the triangle adjacent to the angle}}{\mathrm{hypotenuse}}$$ Ahora la interpretación geométrica de la tangente da: $$(2x-1)^2+1^2=\mathrm{hypotenuse}^2$$ Y sustituyendo el valor de la hipotenusa en la fórmula anterior encontramos el cos. $$\cos(\tan^{-1}(2x-1))=\frac{1}{\sqrt{(2x-1)^2+1}}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{(2x-1)^2+1}=\frac{2}{4x^2+2-4x}=\frac{1}{2x^2-2x+1}$$

Aquí hay un dibujo para ayudar con la parte geométrica

Answer 2

$$\dfrac{d\{\arctan(2x-1)\}}{dx}=\dfrac{d\{\arctan(2x-1)\}}{d(2x-1)}\cdot\dfrac{d(2x-1)}{dx}=\dfrac1{1+(2x-1)^2}\cdot\dfrac{d(2x-1)}{dx}=?$$