Forma de Sturm-Liouville (por ejemplo, la ecuación de Bessel)

Question

Estoy tratando de convertir la ecuación de Bessel $$z^2u''+zu'+(k^2z^2-v^2)u=0,$$ en la forma Sturm-Liouville.

Dividiendo por $z$ ( $z\neq 0$ ), obtenemos $$zu''+u'+(k^2z-v^2z^{-1})u=0\implies (zu')'+(k^2z-v^2z^{-1})u=0.$$ Ahora creo que esto está en forma de Sturm-Liouville, ya que es de la forma $$(p(z)u')'+(q(z)+\lambda r(z))u=0.$$ Mi pregunta es, ¿cómo sabemos qué valores $q(z)$ y $r(z)$ ¿corresponde?

Answer 1

El parámetro $v$ es algo que proviene de la separación de variables en otras variables. Por lo tanto, debe tratarse como algo fijo. Su parámetro $k^2$ es normalmente el parámetro del valor propio asociado a la ecuación de Bessel. Así, $\lambda=k^2$ . La forma de Sturm-Liouville para la ecuación de Bessel para una $v$ es $$(zu')'+(-v^2+k^2z^2)u=0$$ que coincide con su forma

$$(pu')'+(q+\lambda r)u = 0, \\ p(z)=z,\;\; q(z)=-v^2,\;\; r(z)=z^2,\;\; \lambda=k^2.$$