cómo demostrar $\frac{f(x)}{\sqrt{|\log x|}}\rightarrow 0$ como $x\rightarrow 0$

Question

Si $f$ es absolutamente continua en $[\epsilon,1]$ para $0<\epsilon <1$ y $\int_0^1 x|f'(x)|^p dx <\infty.$

Cómo probar $\frac{f(x)}{\sqrt{|\log x|}}\rightarrow 0$ como $x\rightarrow 0$ si $p=2$ ?

Cómo probar $\frac{|f(x)|}{x^{1-2/p}}\rightarrow 0$ como $x\rightarrow 0$ si $p<2$ ?

No sé cómo lidiar con la condición. Sólo tengo eso

$f(x)-f(\epsilon)=\int_\epsilon^x f'(t)dt$ , $|f(x)-f(\epsilon)|\leq\int_\epsilon^x |t^{1/p}f'(t)\cdot t^{-1/p}|dt\leq (\int_\epsilon^x t|f'|^pdt)^{1/p}\cdot (\int_\epsilon^x t^{-q/p})^{1/q} $

Answer 1

Estás muy cerca de la solución real. El truco es, arreglar las pequeñas $0<\epsilon<1$ y observe que para una x pequeña, podemos escribir

$$ \int_{x}^{\epsilon} |f'(t)| \, dt = \int_{0}^{1} t^{1/p}|f'(t)| 1_{(0,\epsilon)}(t) \cdot t^{-1/p} 1_{(x,1)}(t) \, dt. $$

Entonces puedes aplicar la desigualdad de Holder como has probado, lo que te da un límite

$$ \limsup_{x\to0+} \frac{|f(x)|}{g(x)} \leq C_{p} \left( \int_{0}^{\epsilon} t|f'(t)|^{p} \right)^{1/p}, $$

donde $g(x) = |\log x|^{1/2}$ si $p=2$ y $g(x) = x^{1-2/p}$ si $1<p<2$ y $C_{p} > 0$ es una constante genérica que sólo depende de $p$ . Por lo tanto, tomar $\epsilon \downarrow 0$ La afirmación es la siguiente.