Prueba de que $n! > 3n$ para $n\ge4 $ utilizando el Principio de Inducción Matemática

Question

Utiliza la inducción para demostrar que $n! > 3n$ para $n\ge4 $ .

He hecho el caso base y he conseguido que ambos lados sean iguales a $24>12$ para $n=4$ . Sin embargo, al hacer el paso inductivo no consigo encontrar la forma correcta para que coincida con la expresión del lado derecho.

Hasta ahora lo he hecho:

Hay que demostrarlo: $(n+1)!>3(n+1)$ .

Al hacer el paso inductivo:

$(n+1)! = (n+1)n!$

sabemos que $n!$ es más grande que $3n$ entonces

$(n+1)n! >(n+1)3n$ .

Aquí es donde no sé qué hacer a continuación, ¿podría alguien arrojar alguna idea sobre cómo continuar después de esta parte? Gracias.

Answer 1

En su prueba podría hacer lo siguiente: $$n!\geq 3n$$ $$(n+1)!\geq 3n(n+1)$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $n\geq 1$ Por lo tanto $3n(n+1)\geq 3(n+1)$ .....

Answer 2

Supongamos que $n!>3n$ entonces $n!\ge3$ como $3n>3$ para todos $n\in\mathbb{N_{\geq4}}$ .

Esto es lo que sigue

\begin{align} &n!>3\\&(n+1)n!>3(n+1)\\&(n+1)!>3(n+1) \end{align}