El uso de la probabilidad métodos de demostrar $\frac{\sin(t)}{t} = \prod_{i=1}^{\infty} \cos \left( \frac{t}{2^i}\right )$

Question

El uso de la probabilidad métodos (función característica?) probar

$$\frac{\sin(t)}{t} = \prod_{i=1}^{\infty} \cos \left( \frac{t}{2^i} \right)$$

Yo sé lo que es característico de la función pero no tengo idea de como usarlo en esta tarea. Voy agradecido por la ayuda.

Answer 1

Considere la siguiente variable $$ Y=\sum_{j=1}^{\infty}X_j2^{-j} $$ donde $X_i$'s son i.yo.d. imparcial de Bernoulli$\{-1,1\}$. La función característica de la derecha resulta ser $$ \prod_{j=1}^{\infty}\cos(t2^{j}) $$ Por otro lado usted puede convencerse de que $Y$ es Uniforme a lo$(-1,1)$ (yo no estoy haciendo esta parte de la prueba, pero se puede pensar de Uniforme medida como un "uniforme" binario de expansión.) Entonces la función característica de a $Y$ es $$ \int_{-1}^{1}\frac{e^{itx}}{2}dx=\frac{e^{it}-e^{-}} {2it}=\frac{\sin (t)}{t} $$ y hemos terminado.

Answer 2

Sugerencia:

Vamos $b\in\mathbb{N}$, $b\ge2$, $Y=\{0,1,...,b-1\}$ con la feria de las probabilidades asignadas, y deje $F:Y^\infty\to[0,1]$ ser el mapa definido por $$F(x_1,x_2,x_3,...)=\frac{x_1}b+\frac{x_2}{b^2}+\frac{x_3}{b^3}+..., \text{for all}~(x_1,x_2,x_3,...)\in Y^\infty;$$ es decir, $F=\sum_{n=1}^\infty\frac1{b^n}f_n$ donde $f_n=\sum_{k=1}^{b-1}k\chi_{A_{nk}}$ $A_{nk}=Y\times...\times Y\times\{k\}\times Y^\infty$ con ${k}$ $n$th irregular. Si $\mu:\mathcal{S}(\mathscr{C})\to[0,1]$ es el infinito producto de medir, luego

$A\in\mathscr{B}$ si y sólo si $F^{-1}(A)\in\mathcal{S}(\mathscr{C})$, en cuyo caso $\mu(F^{-1}(A))=\mathfrak{m}(A)$.

El uso de este resultado y demostrar que $f:[0,1]\to\overline{\mathbb{R}}$ es Borel medible si y sólo si $f\circ F:Y^\infty\to\overline{\mathbb{R}}$ es Borel medible, y $$\int_{[0,1]}f(x)dx=\int_{Y^\infty}f\circ F~d\mu\tag{*}$$ siempre $f$ es no negativa o integrable; en particular, que se mantiene cuando $f:[0,1]\to\mathbb{C}$ es integrable.

Fix $z\in\mathbb{C}$. A continuación, se aplica (*) para la función de $f(x)=e^{2zx}$, demostrar que $$e^z\frac{\sinh z}z=\lim_{N\to\infty}\int_{Y^\infty}\prod_{n=1}^N e^{2zf_n/b^n}d\mu$$

Escribir $\prod_{n=1}^N e^{2zf_n/b^n}=\prod_{n=1}^N\prod_{k=1}^{b-1}e^{2zk\chi_{A_{nk}}/b^n}$ como una función simple y el uso de la la fórmula para calcular el $\int_{Y^\infty}\prod_{n=1}^N e^{2zf_n/b^n}d\mu$. Deducir la fórmula muy interesante $$e^z\frac{\sinh z}z=\prod_{n=1}^\infty\prod_{k=1}^{b-1}\left(1+\frac{2e^{kz/b^n}}b\sinh\left(\frac{kz}{b^n}\right)\right)$$

Con $b=2$$z=it$, demostrar que $$\frac{\sin t}t=\prod_{n=1}^\infty\cos\left(\frac t{2^n}\right)$$