Residuos en puntos singulares de la función compleja.

Question

Me piden que obtenga los residuos en los puntos singulares de $f(z) = \frac{z^2 + 1}{z^2(z + 2)}$ .

El problema es que no puedo encontrar qué es un punto singular para una función compleja y cómo obtener los residuos en ese punto.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Un punto singular es un punto (normalmente aislado) donde su función no es holomorfa. Para su ejemplo, $z=0$ y $z=-2$ son singularidades. Más precisamente, $z=0$ es un doble poste y $z=-2$ es un simple poste .

Si no sabes nada de cómo calcular los residuos, léelo en tu libro de texto. Para polos simples, hay un par de métodos bastante fáciles. Por ejemplo, si $f = p/q$ y $q$ tiene un cero simple en $z=a$ entonces $$ \operatorname{Res}\limits_{z=a} f(z) = \frac{p(a)}{q'(a)} = \lim_{z\to a} \frac{(z-a)p(z)}{q(z)}. $$

En su ejemplo: $$ \operatorname{Res}\limits_{z=-2} f(z) = \lim_{z\to -2} \frac{(z+2)(z^2+1)}{z^2(z+2)} = \frac54. $$

Para los polos de orden superior, las cosas se complican un poco más. Para un polo de orden $k$ Resulta que $$ \operatorname{Res}\limits_{z=a} f(z) = \frac{1}{(k-1)!} \lim_{z\to a} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \big((z-a)^k f(z)\big). $$ Te dejo que hagas el cálculo del doble ( $k=2$ ) poste en $z=0$ .

Answer 2

Puntos singulares significa qué valores de z hacen que el denominador sea 0. En otras palabras, qué satisface $z^2(z-2)=0$ ? (0 y 2). Ahora bien, cada uno de estos puntos es un polo de cierto orden. Básicamente, $\lim_{z\to z_o} (z-z_o)^m f(z)$ , donde $z_o$ es su polo, está definido, y m es el orden del polo. Para encontrar el residuo de un polo de orden 1, se puede hacer $\lim_{z\to z_o} (z-z_o)f(z)$ o $\dfrac{F(z_o)}{G'(z_o)}$ donde F es la parte de f(z) definida para el punto $z_o$ . Para un polo de orden m, hay que hacer $\dfrac{F^{(m-1)}(z_o)}{(m-1)!}$ .