Es posible definir nuestra noción intuitiva de probabilidad en subconjuntos de $[0,1]$

Question

Siempre he oído y leído la frase:

Si eliges un número real $x\in[0,1]$ al azar El probabilidad para obtener un número racional es $0$ .

¿Qué significa esto? ¿Es la probabilidad "real"?

En primer lugar, debemos definir con precisión qué significa al azar Asumiré una base $10$ . Entonces todos los números en $[0,1]$ comienza con $0$ (para $1$ descartamos esta notación y utilizaremos $0.9999\ldots$ ).

A continuación, daré un enfoque clásico que define el significado aleatorio, si elegimos un número real $x$ en $[0,1]$ al azar queremos decir que la probabilidad de obtener un dígito en determinada posición es $1/10$ (ampliando para $[0,1]$ la definición clásica de Laplace para la probabilidad), a grandes rasgos cada dígito tiene la misma "probabilidad" de estar en $x$ .

Estrictamente hablando, estamos construyendo una noción de probabilidad en $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^\omega$ ya que los números con $0$ periódico tiene dos representaciones. Queremos pasar la noción intuitiva de probabilidad a este conjunto, pero si hay uno, éste debe ser único.

La medida de Lebesgue $m$ rescata algunas de estas nociones probabilísticas, por ejemplo $m(\emptyset)=0$ , $m(\{x\})=0$ y $m(\text{numbers starting with the given digit $ k $})=\frac{1}{10}$ pero intuitivamente una noción de probabilidad debe ser definida en todos los subconjuntos ( Editar: sos440 en los comentarios dice que es natural este fenómeno (no definido en todos los subconjuntos) ya que no podemos describir algunos conjuntos sin usar axiomas adicionales como " Lemma de Zorn ") además de tener algunas propiedades como (finito o $\sigma$ )-aditividad.

La medida de Lebesgue también satisface $m(\mathbb{Q\cap [0,1]})=0$ . ¿Nuestra noción intuitiva de la probabilidad nos dice que la probabilidad de obtener un número racional es $0$ ?

Otras funciones ("medidas") en $[0,1]$ se definen en su totalidad $\mathcal{P}([0,1])$ pero no coincide con $m$ y perdemos otras nociones para nuestro significado intuitivo de la probabilidad.

¿Merece la medida de Lebesgue el nombre de probabilidad "real" en $[0,1]$ (o $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^\omega$ )? ¿Por qué?

Esto fue completamente respondido por Michael Greinecker La respuesta es un gran Sí .

¿Es posible definir una noción de probabilidad para $[0,1]$ y para todo $\mathbb{R}$ ?

Completamente contestado en los comentarios y respuestas. La respuesta es no para $\mathbb{R}$ y para $[0,1]$ es que sí.

¿Existe alguna función(medida) que sea la mejor representante de nuestro concepto de probabilidad? ¿Por qué?

Esto fue completamente respondido por Michael Greinecker : La medida de Lebesgue.

Gracias de antemano.

Segunda edición: La gente en los comentarios y respuestas me habla de la importancia de axiomas adicionales como el "Axioma de elección" y la "Hipótesis del continuo". ¿Cómo afecta la aceptación o negación de estos axiomas a las respuestas a mis preguntas?

Esto fue respondido completamente por hot_queen.

Tercera edición: Marqué las preguntas fueron completamente contestadas y ofrecí una recompensa por la respuesta intuitiva y esencialmente la primera pregunta sobre $\mathbb{Q}$ .

Answer 1

En primer lugar, bajo la hipótesis del continuo, toda medida de probabilidad sobre el conjunto de potencias de $[0,1]$ se concentra en un conjunto contable de números, por lo que daría una noción muy asimétrica de "al azar".

Segundo, $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ es contable y cualquier medida que no ponga masa positiva en algunos números pondrá medida cero en conjuntos contables. Toda medida de probabilidad que sea invariante bajo todas las permutaciones de un número contable de puntos pondrá probabilidad cero en $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ .

En tercer lugar, la medida de Lebesgue es en cierto sentido la noción natural de una distribución uniforme. Sea $X_n$ sea una variable aleatoria con distribución uniforme en el conjunto $\{0,1/n,2/n,\ldots,n/n\}$ . Entonces la secuencia $(X_n)$ converge en distribución a una variable aleatoria con medida de Lebesgue como su distribución.

En definitiva, una medida de probabilidad merece ser llamada aleatoria si no discrimina entre eventos que consideramos equivalentes. Si pensamos en $[0,1]$ como si estuvieran envueltos en un círculo y pensaran que desplazar un conjunto a lo largo del círculo no debería cambiar su probabilidad, la medida de Lebesgue es la única medida (en los conjuntos de Borel) que satisface este criterio. No existe una medida de probabilidad similar para todos los $\mathbb{R}$ .

Answer 2

No pensaba escribir una "diatriba" pero resulta que mi cerveza es bastante buena.

El Sr. Greinecker habló de un escenario (CH) en el que es imposible medir todos los conjuntos de reales (esto lo demostraron los Banach y Kuratowski hace mucho tiempo, a finales de los años 20 quizás). Permítanme añadir que si no se requiere invariancia de traslación entonces es concebible que a todos los conjuntos de reales se les pueda asignar una medida. Una forma de "justificar" esto es decir que la gente ha trabajado en la teoría ZFC + "existe tal medida total" desde hace bastante tiempo y nunca han obtenido una contradicción. La otra forma de justificar esto es que "sienten" que en su universo teórico de conjuntos ZFC + "existe un cardinal medible" se sostiene y por lo tanto por el trabajo de Solovay la primera suposición debe ser consistente también.

Por supuesto la moraleja es "es difícil computar el contenido de verdad de los enunciados infinitos" (Nelson cree que la AP es inconsistente) y una vez formalizada en CUALQUIER sistema decente, no sólo estas cuestiones sino su independencia se vuelven independientes (sobre su sistema decente).

Este es un fenómeno cotidiano para los lógicos (los teóricos de conjuntos, en particular) y quizá algún día todos los matemáticos pidan no sólo una respuesta de sí o no a sus conjeturas, sino también un resultado de independencia (ZFC, en mi opinión, agota mi intuición de verdad y conocible).

Answer 3

Si la noción intuitiva de probabilidad en el intervalo es que los subintervalos de igual longitud contienen el punto de muestra con igual probabilidad, entonces es intuitivo que los racionales tienen medida 0. Tomemos un pequeño intervalo alrededor de 1/2, digamos de anchura $\epsilon$ , luego uno de la mitad de ese tamaño alrededor de 1/3, etc. y así sucesivamente hasta que hayas rodeado cada uno de los puntos racionales contables por una colección de intervalos cuya longitud total es 2 $\epsilon$ . Según nuestra noción intuitiva, esto significa que la probabilidad de obtener un punto racional es menor que $2\epsilon$ para cualquier $\epsilon$ por lo que debe ser 0.

Una respuesta más intuitiva es ésta: ¿cuál es la probabilidad (suponiendo que las cosas se pueden ampliar infinitamente) de que una tabla de madera mida exactamente 1 pie de largo? ¿Qué tal 45/37 pies de largo? Intuitivamente la tabla siempre estará un poco lejos de cualquier fracción perfecta, lo que significa que es irracional.