Demostrar que una serie es igual a otra

Question

¿Cómo puedo obtener de esta serie: $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2}$$ a esta serie: $$1-2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$$

He demostrado numéricamente en python que son iguales, pero no puedo llegar a la respuesta analíticamente

Sé que la serie es simétrica así que cambio los índices como $2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} e^{-2n^2\lambda^2}$

Entonces cambio el poder para cambiar los signos como: $-2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$

Entonces saca el primer índice para poder empezar la serie en n=1, obteniendo: $-2-2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$

Pero esto no es lo mismo, ¿qué paso me falta?

Answer 1

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2}$ asumiendo que esto converge

$= \sum_{n=-\infty}^{1} (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2} + ((-1)^0 e^{-2(0)^2\lambda^2})+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2}$ asumiendo que las sumas convergen

$= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{-n} e^{-2(-n)^2\lambda^2} + 1+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2}$

$= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} [ (-1)^{-n} e^{-2(-n)^2\lambda^2}+ (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2}]$

$= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}[ (-1)^{n} e^{-2n^2\lambda^2}+ (-1)^n e^{-2n^2\lambda^2}]$

$= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}2 (-1)^{n} e^{-2n^2\lambda^2}$

$= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac 2{-1} (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$

$=1 + \frac 2{-1}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$

$=1 - 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$

Answer 2

Entonces saca el primer índice para poder empezar la serie en n=1, obteniendo: $-2-2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} e^{-2n^2\lambda^2}$

Sustituyendo el cero se obtiene $-2(-1)^{0-1}e^{-2\lambda^2} = -2(-1)=2$ . Así que uno de tus errores fue tener un signo negativo para el primer término.

Sé que la serie es simétrica así que cambio los índices como $2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} e^{-2n^2\lambda^2}$

Todos los índices negativos tienen el mismo valor que el índice positivo correspondiente, por lo que se pueden eliminar los índices negativos y duplicar los valores de los índices positivos. Pero tu error es no darte cuenta de que hay un índice que no es ni positivo ni negativo: el cero es un caso especial que hay que tratar por separado. Tu duplicación sería válida si hubiera ambos $+0$ y $-0$ pero como sólo hay un cero, estás contando doble.

Así que uno de sus errores convirtió el $1$ en un $2$ y su otro error hizo que el $2$ en un $-2$ .