Valor esperado de los estimadores

Question

Supongamos que estamos estimando $\tau(\theta)=\frac{p}{1-p}$ para $X_1,...,X_n$ variables aleatorias bernoulli(p).

Ahora me piden que demuestre que no existe un estimador insesgado, entonces obtengo $$E_p(h(X))=\sum h(x)p^{\sum x_i}(1-p)^{\sum x_i}$$

Mi pregunta es simplemente si debo incluir los coeficientes binomiales en la suma también ya que la suma de los $x_i$ ¿siguen la distribución Binomail(n,p)?

Answer 1

Dejemos que $S=\{0,1\}^n$ y, para cada $x=(x_i)$ en $S$ , $|x|=\sum\limits_{i=1}^nx_i$ . Para cada $p$ en $(0,1)$ , dejemos que $\tau(p)=\frac{p}{1-p}$ . Entonces, como casi escribiste, $$ E_p[h(X)]=\sum_{x\in S}h(x)p^{|x|}(1-p)^{n-|x|}. $$ Cualquiera que sea la función $h$ es decir, el RHS es un polinomio con respecto a $p$ (con grado como máximo $n$ ), por lo que el $(n+1)$ derivada con respecto a $p$ de $E_p[h(X)]$ es idéntico a cero. Supongamos que la función $h$ es tal que $E_p[h(X)]=\tau(p)$ por cada $p$ en algún subintervalo de $(0,1)$ con interior no vacío. Entonces el $(n+1)$ derivada con respecto a $p$ de $\tau(p)$ debe ser cero en este intervalo, una contradicción.

Esto demuestra que algún estimador insesgado de $\tau(p)$ puede existir sobre la base de $X$ sólo cuando $\tau$ es una función polinómica de grado máximo $n$ . Un poco más de trabajo muestra que para toda función polinómica de grado como máximo $n$ algún estimador insesgado de $\tau(p)$ basado en $X$ existe.