Encuentra todos los pares a,b,c tales que $a\equiv b \pmod c$ , $b\equiv c \pmod a$ , $c\equiv a \pmod b$

Question

Este problema está tomado de An Introduction to The Theory Of Numbers, de Ivan Niven.
Encuentre todos los pares de este tipo $a,b,c$ tal que $a\equiv b \pmod c$ , $b\equiv c \pmod a$ , $c\equiv a \pmod b$ . He escrito $a=b+ck_1,\ b=c+ak_2, c=a+bk_3$ y equiparó el determinante a $0$ pero no he sacado nada muy útil de ello.

Answer 1

Para que el homogéneo sistema

$$\begin{cases}\ \ \ \ a&-&b&-&k_1c&=&0\\-k_2a&+&b&-&c&=&0\\ \ -a&-&k_3b&+&c&=&0\end{cases}$$

tiene una solución diferente a la solución trivial $(0,0,0)$ debemos tener:

$$\tag{1}\begin{vmatrix}1&-1&-k_1\\-k_2&1&-1\\-1&-k_3&1\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ k_1k_2k_3+k_1+k_2+k_3=0$$

Cualquiera de los $k_i=0$ (dando por ejemplo cuando $k_1=0$ , $k_2$ arbitraria y $k_3=-k_2$ ), o podemos escribir $(1)$ bajo el formulario:

$$\tag{2}\iff \dfrac{1}{k_2k_3}+\dfrac{1}{k_3k_1}+\dfrac{1}{k_1k_2}=-1$$

y hay muy pocos enteros triples $(k_1,k_2,k_3)$ que verifican $(2)$ .

Depende de ti...