Encontrar los puntos de equilibrio de una ecuación diferencial

Question

OK, esta es una pregunta débil, pero estoy un poco oxidado en ecuaciones diferenciales, así que aquí está:

Necesito encontrar la solución general de x'=ax+3 y luego encontrar los puntos de equilibrio así como qué puntos son sumideros y fuentes de equilibrio (a es un parámetro).

He encontrado la solución general de x(t). Fue: $x(t)=Ce^{at}-\frac{3}{a}$

Ahora, a partir de una o dos líneas en el texto sobre los puntos de equilibrio, estoy viendo que eso será un "valor" que hace que x(t) = 0. Aunque, la forma en que está redactado en el texto hace que parezca que una elección de "a" o "C" será lo que hace una solución de equilibrio.

Aquí es donde estoy confundido. ¿Resuelvo la solución general para t poniendo x = 0? ¿Resuelvo la ecuación original poniendo x' a 0 y encontrando x (esto es lo que vi en alguna página web).

No estoy seguro de qué debo hacer para encontrar los puntos de equilibrio, y luego cómo decidir cuáles son sumideros y cuáles son fuentes.

Answer 1

Su ecuación diferencial es $x' = ax+3$ . Una solución de equilibrio es aquella para la que $x'=0$ a lo largo de la solución. Como contraejemplo, $x(t)=0$ (la función cero) no es una solución de equilibrio porque aunque $x'=0$ no es cierto que $a(0)+3=x'$ . La función cero no es una solución de la ecuación diferencial dada. Necesitamos dos cosas:

1.) la solución propuesta tiene la propiedad $x'=0$

2.) la solución propuesta es de hecho una solución (cuando la enchufas en el DEQn funciona)

Por lo tanto, $x'=ax+3=0$ produce $x = -3/a$ como la solución de equilibrio.

Para las ecuaciones diferenciales más complicadas, las soluciones de equilibrio pueden ser más interesantes. Aquí esta solución es en realidad el caso excepcional en su solución general si la derivó por separación de variables. Fíjate,

$$ \frac{dx}{dt} = ax+3 $$

produce

$$ \int \frac{dx}{ax+3}= \int dt $$

proporcionó $ax+3 \neq 0$ . Integrar,

$$ \frac{1}{a}\ln |ax+3| = t+c $$

el álgebra,

$$ |ax+3| = e^{at+ac} =e^{ac}e^{at} $$

Por lo tanto,

$$ ax+3 = \pm e^{ac}e^{at} $$

O, $x = Ce^{at} - 3/a$ donde $C = \pm e^{ac}/a$ . Observe que $C$ definido de esta manera no debería ser cero. Es interesante que $C=0$ nos lleva a la solución de equilibrio.

A menudo encontramos soluciones de equilibrio entre otras clases de soluciones. Por ejemplo, véase la ecuación logística $P' = P(1-P/C)$ . La solución de equilibrio se alcanza con la solución constante $P=C$ mientras que hay otras dos clases de soluciones que se aproximan asintóticamente al equilibrio por abajo o por arriba.