¿Cuál es el cociente $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(1+2\sqrt{3})$?

Question

Actualmente estoy haciendo un pasado de papel y se le pide lo siguiente:

Demostrar que para $I=(1+2\sqrt{3})$ tenemos $\mathbb Z[\sqrt{3}]/I$ un campo con $11$ elementos.

Si asumo estándar de la teoría algebraica de números, a continuación, sería sólo un par de líneas:

Sabemos $N(I)=|\mathcal O/I|$ donde $\mathcal O=\mathbb Z[\sqrt{3}]$. Y la norma de un director ideal es igual al valor absoluto de la norma de su generador, es decir,$N(I)=|N(1+2\sqrt{3})|=|1-3\cdot 4|=11$. Por lo $|\mathcal O/I|=11$ y, por tanto, $\mathcal O/I$ debe ser el campo finito con $11$ elementos.

Pero este papel es para un normal Álgebra Conmutativa módulo y yo no puede asumir ningún tipo de este. ¿Hay alguna otra manera de acercarse a este?

Answer 1

Observe que: $(-1+2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})=11\in I$$(1+2\sqrt{3})\sqrt{3}=6+\sqrt{3}\in I$. Por lo tanto $a+b\sqrt{3}+I=a+b(-6)+I=a-6b+I=[(a-6b)\mod\,11]+I$. Por lo tanto: $$\mathbb{Z}[\sqrt{3}]/I=\{a+I:0\leq a\leq 10\}$$

Ahora Considere el $\phi:\mathbb{Z}_{11}\rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{3}]/I$ que envía a$x$$x+I$. Compruebe que $\phi$ es un surjective grupo homomorphism. Por lo tanto, $|\mathbb{Z}[\sqrt{3}]/I|$ divide $11$ ......

Finalmente, muestran que $|\mathbb{Z}[\sqrt{3}]/I|\not=1$ mostrando que $1\not\in I$ mediante el uso de una norma argumento.

Answer 2

No hay un método general para calcular estos coeficientes, que es muy sencillo cuando usted se sienta cómodo con polinomios.

Desde $\mathbb{Z}[\sqrt{3}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2-3)$,$Q:=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]/(1+2 \sqrt{3}) \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2-3,1+2x)$. En $Q$ tenemos $0=(2x+1)(2x-1)=4 x^2-1=11$. Por lo tanto

$Q \cong \mathbb{F}_{11}[x]/(x^2-3,2 \cdot 6 + 2 \cdot x) = \mathbb{F}_{11}[x]/(x^2-3,6+x)=\mathbb{F}_{11}/(5^2-3)=\mathbb{F}_{11}.$

Answer 3

En preguntas como esta puede ayudar a conocer el orden del anillo cociente a priori. Para ello, se puede utilizar el siguiente argumento:

• Uno tiene la cadena de ideales $(11) = (1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3}) \subset (1+2\sqrt{3}) \subset \mathbb Z[\sqrt{3}].$

• La multiplicación por $(1+2\sqrt{3})$ induce un isomorfismo entre el$Z[\sqrt{3}]/(1-2\sqrt{3})$$(1+ 2\sqrt{3})/(11)$.

• Galois conjugación (intercambio de $\sqrt{3}$$-\sqrt{3}$) da un isomorfismo betweem $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(1-2\sqrt{3})$ $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(1+2\sqrt{3}).$

Poniendo todo esto junto, nos encontramos con que el orden de $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(11)$ es igual al cuadrado de la orden de $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(1+2\sqrt{3}).$ Puesto que el primero es isomorfo (como un grupo abelian) a $\mathbb Z/(11) \times \mathbb Z/(11)$, tiene el fin de $11^2$, y por lo $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(1+2\sqrt{3})$ orden $11$.

En este caso particular, hemos terminado, ya que el cociente del anillo tiene orden de $11$ que es la primera, y así es, necesariamente, el primer campo de orden de $11$.

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En general, se puede demostrar que si $a$ $b$ son coprime, entonces $\mathbb Z[\sqrt{3}]/(a + b \sqrt{3})$ es isomorfo a $\mathbb Z/(a^2 - 3b^2)$, y es un buen ejercicio para escribir los detalles, el uso de la mismo argumento como en Amr de la respuesta (combinado con el evidente la generalización el argumento de arriba, para ver que el fin de el anillo cociente es igual a $|a^2 - 3b^2|$).

Si desea ver otro fraseo de esencialmente el mismo argumento (en el contexto del anillo de $\mathbb Z[i]$, pero va exactamente de la misma manera) ver esta respuesta.