Referencia para la prueba del producto matriz-vectorial simétrico: $(a - b)^T M (a - b) = a^T M a - 2b^T Ma + b^T M b$ ?

Question

Vectores dados $a$ , $b$ ; y matriz cuadrada simétrica $M$ tenemos esta identidad:

$$(a - b)^T M (a - b) = a^T M a - 2b^T Ma + b^T M b$$

Lo cual es bastante fácil de probar:

$$(a - b)^T M (a - b) = a^TM(a-b) - b^TM(a - b) = a^TMa - a^TMb - b^TMa + b^TMb$$

$b^TMa$ es un escalar, por lo que podemos transponerlo sin alterarlo. Entonces, como $M=M^T$ :

$$(b^TMa)^T = a^TM^Tb = a^TMb$$

Sustituyendo esto en la segunda ecuación obtenemos la primera afirmación.

¿Qué referencia puedo utilizar para evitar escribir esta prueba? ¿O es lo suficientemente conocida como para no necesitar ninguna referencia?

Answer 1

Otra opción es preceder el resultado con la frase "por inspección", lo que significa que el lector puede resolver la prueba por sí mismo.