Denote $(v_1, \ldots, v_n)$ la matriz que tiene columnas $v_1,\ldots, v_n\in \mathbb{R}^n$ . Dejemos que $A\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ . ¿Existe una manera inteligente (sin expandir el LHS y hacer cálculos) de mostrar que $$\sum_{i=1}^n \det(v_1, \ldots, Av_i, \ldots, v_n)=\text{tr}(A)\det(v_1, \ldots, v_n)\ ?$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No estoy seguro de que esto sea lo que quieres, pero es la solución más limpia que he encontrado.
Es fácil comprobar que, si todos los $v_j$ son fijos y tanto la función se ve como una función de un solo vector, será una función lineal. Además, si dos de los $v_j$ s son los mismos, digamos $v_k=v_{\ell}$ el lado izquierdo será cero. Para ver esto, observa que en la suma habrá dos tipos de sumandos, aquellos en los que $i\in \{k,\ell\}$ y aquellos en los que $i\not\in \{k,\ell\}$ . Los dos términos del primer tipo se anularán entre sí porque uno se obtiene intercambiando dos de las columnas del otro, y el resto de los términos serán cero porque los determinantes son cero cuando dos columnas son iguales.
Es un teorema que toda función multilineal y alterna es un múltiplo del determinante, por lo que el lado izquierdo es igual a $c\det(v_1,\ldots, v_n)$ para alguna constante $c$ . Al establecer $v_i=e_i$ El $i$ vector base, podemos calcular que $c=\operatorname{tr} A$ .
