Integral definida de una función que no tiene antiderivada

Question

He probado todos los métodos que conozco para encontrar $$\int_0^{\pi}\frac{1}{\sqrt{3+\cos(x)}}\, dx$$ y resulta que esta función no tiene antiderivada por lo que no puedo encontrar la integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo. ¿Me pueden ayudar a encontrar el valor de esta integral?

Answer 1

Tiene una antiderivada que no se puede expresar en términos de funciones elementales. $$\int\frac{dx}{\sqrt{a+\cos(x)}}=\frac 2 {\sqrt{a+1}} \, F\left(\frac x 2 | \frac 2 {a+1} \right)$$ donde aparece una integral elíptica incompleta de primer tipo.

Ahora, para su integral definitiva $(a=3)$ esto da $$F\left(\frac \pi 2 | \frac 1 {2} \right)=K\left( \frac 1 {2} \right)=\frac {8 \pi^{3/2}}{\left[\Gamma\left(-\frac1 4\right)\right]^2}$$