(Disculpas por hacer otra pregunta basada en "Los Irracionales" de Julian Havil)
En la página 86 de "The Irrationals" de Havil, el autor expone cómo John Wallis aproximó la integración aplicando una variante del "Principio de Cavalieri" (que dos sólidos tienen el mismo volumen si las áreas de sus secciones transversales son iguales en todas partes) aplicado a dos dimensiones.
Lo resume así: para una "función continua de valor positivo $f(x)$ definido en el eje real positivo con el valor máximo de $M_N$ en el intervalo $[0,N]$ ":
$$\int_0^1 f(x)\,dx = \lim_{N\rightarrow \infty} \frac{\sum^N_{r=0} f(r)}{\sum^N_{r=0}M_N} = \lim_{N \rightarrow \infty}\frac{\sum^N_{r=0} f(r)}{M_N(N+1)}$$
Y escribe "En palabras, suma las longitudes de las tiras verticales del $x$ -eje a la curva y luego dividirlo por la aproximación del mismo orden del área del rectángulo circundante".
Lo que me tiene totalmente desconcertado es la idea de que el área bajo la curva de una función entre 0 y 1 está relacionada con su valor en el infinito. Veo que podemos aproximar el valor de la integral sumando los valores de la función y luego dividiendo por el intervalo, pero no la suma presentada aquí: ¿alguien podría explicar el razonamiento aquí, por favor?
