Stieltjes Integral significado.

Question

¿Alguien puede dar una interpretación geométrica de la integral de Stieltjes:

$$\int_a^bf(\xi)\,d\alpha(\xi)$$

¿Cómo podemos calcular? $$\int_a^b \xi^3\,d\alpha(\xi)$$ por ejemplo.

Answer 1

Usted puede imaginarse $\alpha(\xi)$ como un no-uniforme de la escala se aplica a la $x$-eje.

Por ejemplo, Imagine que usted está conduciendo a través de la cordillera de los andes en el perú, y de su coche de lujo el GPS registra la elevación actual en cada kilómetro (o milla si usted prefiere mantener imperial). Un par de días después de competir en un maratón, y se les pide a revelar el promedio de la altura a la que se fueron, ya que el análisis de sangre muestra un elevado recuento de células rojas de la sangre que es un indicio de dopaje, a menos que haya gastado una cantidad considerable de tiempo en las altas altitudes.

Fácil, usted piensa, y descargar los datos de su GPS, calcular la suma, y dividir por el número de puntos de datos. Informe de ese valor, y un prompty descalificado de este y cualquier tipo de eventos. Lo que pasó? Resulta que su velocidad promedio fue mucho mayor en altitudes bajas que lo que estaba en alto - perfectamente razonable, dada la condición de algunas de las calles en esas regiones montañosas. Por lo tanto, que has gastado mucho más veces en altitudes mayores que la gráfica de la altitud sobre la distancia que el GPS de registro de muestra. Lo que necesitas es una gráfica de la altitud a lo largo del tiempo, pero usted no tiene que.

Cuando se descubre el problema, compruebe su coche registros así, y están encantados de descubrir que su coche maintens un registro del tiempo transcurrido, también se registran todos los kilómetros (o millas). Puedo utilizar esto para calcular una corrección de la media, se le pregunta a un amigo suyo, y así rehabilitar mi buen nombre en el corredor de la comunidad? Usted puede, él contesta, y para una vez que estás contento de que usted tiene un matemático entre tus amigos...

¿Qué hace su matemáticamente inclinado amigo? Se alinea la lista de altitudes, desde su GPS con la lista de los tiempos de su coche, y obtiene una tabla como la siguiente $$ \begin{array}{lll} \textrm{Distance} & \textrm{Altitude} & \textrm{Time} \\ \hline \\ 0\textrm{km} & 500\textrm{m} & 0\textrm{s} \\ 1\textrm{km} & 550\textrm{m} & 30\textrm{s} \\ 2\textrm{km} & 600\textrm{m} & 65\textrm{s} \\ \ldots \end{array} $$

Se calcula entonces una nueva columna "Tiempo Delta", que contiene la diferencia entre cada tiempo y de la que inmediatamente le precede. La nueva tabla se parece a esto $$ \begin{array}{lll} \textrm{Distance} & \textrm{Altitude} & \textrm{Time} & \textrm{Time Delta} \\ \hline \\ 0\textrm{km} & 500\textrm{m} & 0\textrm{s} & - \\ 1\textrm{km} & 550\textrm{m} & 30\textrm{s} & 30\textrm{s} \\ 2\textrm{km} & 600\textrm{m} & 65\textrm{s} & 35\textrm{s} \\ \ldots \end{array} $$

Cada vez que delta, a continuación, refleja el tiempo que se tomó para la unidad 1 kilómetros (o millas), es decir, refleja la velocidad que usted estaba manejando con (aunque en cuestión de segundos/kilómetro, no en kilómetros/hora, como de costumbre. Usted podría llamar a esa "lentitud" en lugar de "velocidad", porque, si bien es refelects la velocidad, es reflejo de la mayor velocidad con menor de los valores, y menor la velocidad con mayores valores). Cada Vez que el Delta también se refleja el tiempo que pasas en función de la altitud, ya que es simplemente el tiempo entre la última medición de la altitud y de la actual.

Todos sus amigos tiene que hacer, entonces, es de nuevo el promedio de los valores de altitud, pero ponderado con su correspondiente tiempo de deltas. En otras palabras, él simplemente se multiplica cada uno de altitud con el correspondiente tiempo de delta, la suma de todos los productos, y se divide por la suma del tiempo de deltas (que es simplemente la diferencia entre la primera y la última sesión del tiempo). Y listo, el resultado promedio es mucho mayor que el que tienes, y previa notificación a las autoridades que su prohibición se levantó y su nombre se borra.

Stiltjes Integrales hacer exactamente este tipo de ponderación de la recapitulación. En el Stiltjes integral $$ \int f(\xi) \,d\alpha(\xi) $$ $f(\xi)$ corresponde a la asignación de la distancia a la altitud que el GPS le dio, mientras que $\alpha(\xi)$ corresponde a la asignación de la distancia con el tiempo que su coche conectado. La integral de los pesos de cada una de las $f(\xi)$ con la tasa de cambio de $\alpha$$\xi)$, es decir, se calcula $$ \int f(\xi) \alpha'(\xi) d\xi \text{.} $$ Nota cómo, en comparación con las tablas anteriores, el cálculo de las diferencias entre valores sucesivos ha sido sustituida por la de tomar la derivada. Esto es necesario ya que al $x$ varía a lo largo de un continuum, ya no hay tal cosa como un predecesor inmediato de un determinado $x$.

Ten en cuenta que esta fórmula sólo es correcta si $\alpha(\xi)$ es continuamente diferenciable!

Answer 2

$$\int_a^b \xi^3\,d\alpha(\xi)=\int_a^b\xi^3a'(\xi)d\mu(\xi) $$ en caso de que $a$ es diferenciable. También se $\mu(\xi) $ indica que el Legesgue medida. Con el fin de encontrar la fórmula anterior, se tiene que el uso de Radon-Nikodym derivados. (http://en.wikipedia.org/wiki/Radon%E2%80%93Nikodym_theorem).

Generalmente la función de $a$ le da una forma a medida elemental de conjuntos, tales como intervalos. Esta función se encargará de producir el correspondiente Stieltjes medida. De la misma manera, los intervalos de medición(o cubos) con la forma natural ($\mu([0,1])=1)$, produce medida de Lebesgue.