Norma de la diferencia de dos cuadrados de matrices

Question

Sean $x,y$ matrices cuadradas y $c$ cualquier escalar.

¿Es cierto que $ \Vert x^2 \Vert - c^2 \Vert y^2 \Vert = \Vert x - cy \Vert ^2$?

Si esto es cierto entonces he terminado con la demostración de un teorema sobre teoría de asociación. Gracias.

Nota: $\| x \| = \langle x,x\rangle$ y $\langle x,y\rangle = \operatorname{Trace} (x y^*)$ donde ${}^*$ es el conjugado y transpuesto de $y$.

Answer 1

Suponiendo según el comentario que $x,y$ son matrices y $\|\cdot\|$ es la norma de Frobenius o de Hilbert-Schmidt:

No, eso no es cierto. Intenta tomando $c=1$, $x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. El lado izquierdo es cero pero el lado derecho no lo es.