Ayuda para entender una prueba sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Question

Tengo este teorema en mi libro:

Supongamos que $f$ es continua en el rectángulo $$R = \{(t,u) | |t-t_0|\leq T, |u(t)-u_0|\leq L\} $$ y que $$|f(t,u)|\leq M \text{ if } (t,u)\in R$$ Dejemos que $\delta = \min(T,L/M).$ Si $u(t)$ es cualquier solución de $\dot{u} = f(t,u)$ , $u(t_0) = u_0$ entonces $$|u(t)-u_0|\leq L \text { when } |t-t_0|\leq \delta.$$ Supongamos además $f$ es una función continua lipschitz de $u$ uniformemente en $t$ . Entonces la solución de $\dot{u} = f(t,u)$ , $u(t_0) = u_0$ es único en el intervalo $|t-t_0|\leq \delta$ .

La prueba de la primera parte es:

Si una solución $u(t)$ se mantiene dentro del intervalo $|u(t)-u_0|\leq L$ entonces su derivada está acotada por $M$ por lo que la solución no puede salir del intervalo en menos tiempo que $L/M$ . Considere $$D = \{0\leq\eta\leq\delta | |u(t)-u_0|\leq L \text{ for all } |t-t_0|\leq\eta\}. $$ Entonces $0\in D$ y si $\eta\in D$ entonces $\eta ' \in D$ para todos $0\leq \eta '\leq \eta$ . Así, $D$ es un intervalo no vacío. Además, $D$ está cerrado en $[0,\delta]$ porque $u(t)$ es una función continua de $t$ . Si $\eta\in D$ y $\eta<\delta$ entonces $f(t,u(t))\leq M$ para $|t-t_0|\leq \eta$ Así que $$|u(t)-u_0|\leq \bigg |\int_{t_0}^t f(s,u(s))ds\bigg |\leq M\eta < M\delta = L.$$ Como tenemos una desigualdad estricta, y $u$ es continua, se deduce que existe una $\epsilon>0$ tal que $|u(t)-u_0|\leq L$ cuando $|t-t_0|\leq \eta + \epsilon$ . Así, $D$ está abierto en $[0,\delta]$ de lo que se deduce que $D = [0,\delta]$ .

Mis primeras preguntas están en la línea:

Si una solución $u(t)$ se mantiene dentro del intervalo $|u(t)-u_0|\leq L$ entonces su derivada está acotada por $M$ por lo que la solución no puede salir del intervalo en menos tiempo que $L/M$ . ¿Por qué tiene que estar acotada la derivada?

Las otras dos preguntas se refieren a por qué es $D$ ¿cerrado? También por qué está abierto $D$ ? ¿Y por qué se quiere demostrar que $D = [0,\delta]$ ?

Se agradecerá cualquier ayuda y comentario. Gracias de antemano.

Answer 1

Como dijo abaktai, para tu primera pregunta tienes que $\dot u=f$ Así que el hecho de que $f$ está acotado hace $\dot u$ limitado.

Para sus otras preguntas, quiere garantizar que $|t-t_0|<\delta$ implica que $|u(t)-u_0|\leq L$ . El truco de la prueba consiste en utilizar el conjunto $D$ . En principio $D$ podría consistir únicamente en $0$ , lo que no sería útil; necesitamos mostrar que es un intervalo mayor. Si $D=[0,\delta]$ entonces se cumple el enunciado del teorema.

Así que la prueba primero argumenta que $D$ es un intervalo. Que es cerrado, porque $$ D=u^{-1}([u_0-L,u_0+l])\cap [t_0-\eta,t_0+\eta] $$ y $u$ es continua. A continuación, para demostrar que $D$ es abierta, la prueba demuestra que si $\eta\in D$ entonces existe $\epsilon>0$ con $(\eta-\epsilon,\eta+\epsilon)\subset D$ Así que $D$ está abierto.

Por lo tanto, sabemos que $D$ es un intervalo $[0,\delta']\subset[0,\delta]$ . Si asumimos que $\delta'<\delta$ entonces el argumento de la prueba muestra que $\delta'+\epsilon\in D$ una imposibilidad. Así que $D=[0,\delta]$ .