Estoy seguro de que la respuesta a tu pregunta es "depende de la aplicación". Aquí hay tres categorías que vienen a la mente (mi idiosincrasia).
Tal vez la categoría más general en la dirección que buscas es una versión de la categoría de espacios métricos de Lawvere. Recordemos que $\mathbb R_{\geq 0}$ es una categoría, por el hecho de que es un poset: hay un único morfismo $x\to y$ siempre que $x\geq y$ . Se le puede dar una estructura monoidal simétrica declarando que $\otimes = +$ . Entonces un $(\mathbb R_{\geq 0},+)$ -no es más que un espacio métrico (generalizado). Los "funtores" naturales son los mapas de distancia no creciente.
Así que sugeriría que una buena conjetura, si es que hay que hacer una conjetura, para una categoría de variedades riemannianas tiene como objetos todas las variedades riemannianas $(M,g_M)$ (de la regularidad que se quiera) y sus morfismos $f : (M,g_M) \to (N,g_N)$ son mapas suaves $M \to N$ de manera que en cada $m\in M$ la forma bilineal simétrica $g_M - f^* g_N$ en la fibra tangente en $m$ es positivo-semidefinido. Esto es una especie de versión "infinitesimal" de la de Lawvere. O bien, basta con notar que cada colector riemanniano da un espacio métrico, y utilizar los mapas de distancia no creciente (en dimensiones infinitas esto es más sutil, ya que hay muchos ejemplos importantes en los que puntos distintos están conectados por caminos arbitrariamente cortos).
Pero aquí hay otras dos categorías "de variedades riemannianas" que son importantes en la teoría cuántica de campos:
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En una aproximación a la comprensión $n$ -teoría cuántica de campos (en firma euclidiana y no lorentziana), se construye una categoría cuya morfismos son $n$ -de las variedades compactas de Riemann con límite, y cuyos objetos son gérmenes de $n$ -de las variedades riemannianas en torno a $(n-1)$ -de las variedades compactas. Para conocer los detalles de este enfoque, hay que empezar por el trabajo de Stolz y Teichner.
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Una categoría a la que le tengo especial cariño, que proporciona una noción más "débil" de $n$ -la teoría de campo cuántica de Riemann, que tiene como objeto $n$ -de la Tierra, y sus morfismos son incrustaciones isométricas.
Y estoy seguro de que hay otras categorías igualmente interesantes, especialmente si te interesan las variedades de dimensión infinita, que en realidad ni siquiera he tocado.
