La ecuación cuadrática me está dando error pueden ayudarme a localizar donde me equivoco

Question

Pregunta. Resolver $$\log(x-3) + \log (x-4) - \log(x-5)=0.$$ Intento. Tengo $$x^2-8x+17=0.$$ $$\log(x-3)(x-4)/(x-5)=0$$

$$\log(x^2-4x-3x+12)/x-5=0$$

$$x^2-7x+12= 10^0 (x-5)$$

$$x^2-7x-x+12+5=0$$

$$x^2-8x+17=0$$

Hola chicos actualización: aparentemente la respuesta era ecuación es indefinida

Answer 1

Usted tiene $x^2-8x+17=0.$ Completando el cuadrado, se obtiene \begin{align} & (x^2 - 8x + 16) + 1=0 \\ & (x-4)^2+1=0 \\ & (x-4)^2 = -1 \\ & x-4 = \pm i \\ & x = 4\pm i. \end{align} Si sustituyes eso en la ecuación original, estás tomando el logaritmo de un número complejo. Cómo hacer eso es moderadamente problemático, y sólo si has examinado esa cuestión tiene sentido que te asignen este problema. Así que existe la posibilidad de que algo esté mal en el enunciado del problema.

Answer 2

¿Cuál es el problema? Tenemos \begin{align}\log(x-3)+\log(x-4)-\log(x-5)=0&\iff\log\bigl((x-3)(x-4)\bigr)=\log(x-5)\\&\iff\log(x^2-7x+12)=\log(x-5)\\&\iff x^2-7x+12=x-5\\&\iff x^2-8x+17=0.\end{align}

Answer 3

Suponiendo que busques soluciones reales, esta ecuación no tiene soluciones, y por eso te molesta. Aquí hay una manera de mostrar que no tiene soluciones:

Desde $\log$ es una función creciente, $$ \log(x-4) > \log(x-5)$$ $$\log(x-4) - \log(x-5) > 0$$ Ahora bien, si $\log(x-5)$ es real, debemos tener $x-5 > 0$ Así que $x-3 > 2 > 1$ por lo tanto $\log(x-3) > 0$ . Si se añade esto, se obtiene $$ \log(x-3) + \log(x-4) - \log(x-5) > 0$$ Así que no puede ser igual a $0$ .