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Cómo es exactamente la homología de Hochschild una monada homología?

Muchos de los textos que alabar a la generalidad de la construcción de la barra asociada a una mónada, decir que la homología de Hochschild es un ejemplo de esto.

¿Qué es exactamente en este caso, el subyacente endofunctor de la mónada, en el que la categoría es un endofunctor, ¿cuáles son la mónada de la estructura de los mapas y, lo más importante (ya que creo que mi confusión se encuentra aquí), ¿por qué entonces la cara mapas como en la página de la wikipedia?

8voto

Herms Puntos 13069

Suponiendo que el anillo de la base $k$ es un campo (o que el álgebra es proyectiva sobre $k$), un functor cuya mónada calcula la homología de Hochschild es el que se asigna a $k$-módulos de $M$ $A$- bimodule $A\otimes M\otimes A$, que es adjunto a la olvidadizo functor en la otra dirección.

El bar del complejo correspondiente a esta contigüidad no es exactamente la utilizada por Hochschild, para definir su cohomology, pero es fácilmente visto a dar naturalmente isomorfo resultados, ya que más o menos evidentemente construcciones da proyectiva resoluciones de bimodules (no sólo de $A$, como es el caso de la mónada que viene de un solo lado de la extensión de escalares)

5voto

Matt Miller Puntos 1829

Esto es en parte en respuesta a Reid, sino también la intención general de aclaración.

Como yo lo entiendo, Pedro pregunta original era:

-- aquí está la Hochschild complejo de cadena para un álgebra $A$ y bimodule $M$, tal como se define en Hochschild original de los documentos; - es la cadena de complejos asociados a un determinado objeto simplicial como se define en la página de la Wikipedia; -- es dicho que este objeto viene de la construcción de la barra (o resolución estándar) asociados a algunos mónada; -- ¿dónde/qué es la mónada?

El último parece ser Reid subyacente del punto en cuestión. Tyler dice que usted puede conseguir, hasta una dimensión de cambio, a partir de la contigüidad entre el k-módulos y k-álgebras (al menos al $A=M$). Mi anterior recuerdo fue que este conduce, naturalmente, a la cíclica homología de un.k.una. aditivo K-teoría definida por Feigin y Tsygan, pero aún no he podido comprobar esto en contra de una copia de su documento. (El punto es que en característica cero, la homología cíclica de un libre tensor de álgebra en un determinado k-módulo coincide con el ciclo de homología del campo de tierra, así que uno puede tomar, libre de las resoluciones de un determinado $k$-álgebra y, a continuación, utilizar espectral de la secuencia de argumentos.) Reflexionando un poco más, debido a la homología de Hochschild de un libre (=tensor) álgebra se limita a los grados 0 y 1, tal vez también se puede obtener $H_n(A,M)$ como Tyler sugiere, tomando el libre álgebra a la resolución de Una (en la categoría de k-álgebras) y luego golpear el resultado simplicial objeto con un adecuado functor - pero esto parece más difícil de lo que en la conmutativa caso (Andre-Quillen) y no puedo conseguir una copia de Quillen del papel en el momento.

Alors. Como yo lo entiendo, después de Weibel del libro (y los papeles de Barr & Beck et al), el objeto simplicial (en la categoría de $k$-módulos) que los rendimientos de la Hochschild complejo de cadena, surge por la aplicación de una cierta Hom-functor (es decir,$\{\}\_A{\rm Hom}_A(\ \cdot\ ,X)$ ) a otro objeto simplicial, decir $\beta(A)$, en la categoría de $A$-bimodules.

Ahora $\beta(A)$ no contráctiles en la categoría de $A$-bimodules, en general, y no viene de una (co)mónada en esa categoría. Sin embargo, $\beta(A)$ puede ser identificado con otro objeto simplicial $F(A)$, que vive en la categoría de $A$-módulos.

¿Qué es $F(A)$?

Bien, dar un paso atrás y considerar la contigüidad entre el $k$-módulos de e $A$-módulos (quizás necesite $k$ a ser un campo en este punto, tal vez no). Que da lugar a una construcción de la barra en $A$-mod, es decir, para cualquier $M$ $A$- mod se obtiene un objeto simplicial $F(M)$ que se da en cada uno de los grados por

$$ F_{-1}(M)=M\quad,\quad F_n(M) = M \otimes A^{\otimes n+1} \ {\rm for }\ n \geq 0. $$

Tenga en cuenta que este es contráctiles en $A$-mod por la maquinaria general de la barra de resolución asociado a una mónada. No había nada que nos pare de tomar $M=A$, que es una perfectamente buena $A$-módulo; y al hacerlo, he aquí, tenemos el mismo objeto simplicial $F(A)$.

Por lo tanto, la homología de Hochschild, independientemente de la elección de los coeficientes, se puede considerar como "que viene de" un comonad - a saber, que la inducida en $A$-mod por el olvidadizo functor de $A$-mod a $k$-mod. En mi opinión, que es, probablemente, la (co)mónada que están hablando.

Lo que ocurre es que, desde el $F(A)$ es contráctiles en $A$-mod y por lo tanto un fotiori en $k$-mod, la "cadena-complejo-ification" de $\beta(A)$ es decir, como un complejo de cadena en $R$-bimod, una resolución de $R$ $k$- relativamente proyectiva $R$-bimodules -- y, por tanto, la aplicación de ${}_R{\rm Hom}_R(\ \cdot \ ,X)$ y teniendo homología coincide con la toma de $k$-en relación Tor de $R$ $X$ R-bimodules. Por lo tanto el punto de vista de que la homología de Hochschild es un caso especial de la relación de Tor.

Por último, en realidad, de acuerdo con Reid que este no es el mejor ejemplo para motivar a los (co)mónada (co)homología. Grupo cohomology con coeficientes en el campo de tierra; o, de hecho, André-Quillen cohomology, que es administrado por un "libre álgebra" contigüidad, pero sólo para conmutativa álgebras, o gavilla cohomology, sería mejor. (No hay originalidad en mis decisiones; he cribbed fuera de Weibel la Sección 8.6).

(Disculpas por la longitud y el tedio, por cierto.)

2voto

Matt Miller Puntos 1829

Tyler, ¿estás seguro de esto? Pensé que la construcción de la barra viene de la contigüidad entre los R-módulos y k-módulos para R dada una k-álgebra (es decir, en relación Tor). Además, ¿qué diría usted sólo tiene sentido si estamos tomando los coeficientes en R y no el de un general bimodule M.

Si recuerdo correctamente, a partir de una k-álgebra I y mirando a un simplicial la resolución de la misma a través de la adición de k-módulos -- k-álgebras conduce a la cíclico de la homología como en el papel de Feigin-Tsygan.

La página wiki también se parece a mí: la Loday de la construcción es la homología de Hochschild y descomposición para conmutativa álgebras, y esto no es muy claro en la wiki.

edición rápida: Hay un bueno si breve discusión de la construcción de la barra a través de las mónadas en Weibel Capítulo 8 (p.283). Sospecho que también se podría extraer la información deseada de la mucho más maquinaria en general en Jon Beck tesis, modulo algunas de las posibles lucha con la notación.

encore une fois: Considerar la contigüidad entre el k-mod y R-mod. Si M es un objeto de R-mod, a continuación, el simplicial de construcción proporcionados por la contigüidad se parece a esto

M <--- R\otimes M <--- R \otimes R \otimes M < \begin{align} \arcsin x = \sum_{n \geq 0} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^{2}} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n \geq 0} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \end etc

donde no he sido capaz de dibujar en toda la faz de mapas, pero es de esperar que a lo que me refiero. Ahora, tomando la alternancia suma de la cara en los mapas de cada grado, obtenemos una división de la secuencia exacta de R-módulo de mapas

M <--- R\otimes M <--- R \otimes R \otimes M < \begin{align} -i \arcsin i x = x + \sum_{n \geq 1} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{ x^{2n + 1}}{2n+1}, \end etc

que es una resolución en el sentido clásico de M en R-mod-R por R-mod projectives - estoy asumiendo que k es un campo en aras de la conveniencia. (Así que usted puede utilizar para calcular Tor^R si lo desea.)

Ahora tome la M=R y tenga en cuenta que tenemos una resolución de R por R^e-projectives. Aplicar Hom{R^e}(__, X), donde X es el coeficiente de módulo, y se obtiene precisamente el Hochschild complejo de cadena como en los documentos originales.

Por supuesto, no tuvimos que tomar sumas de cara mapas antes de aplicar el Hom functor. Así que, si empezamos con R considerado como un objeto de R-mod, la canónica simplicial de la construcción (para M=R) nos daría un contráctiles simplicial objeto en R-mod con M=R en la parte inferior, este objeto sería, de hecho, viven en R^e-mod, y así es elegible para ser golpeado con HomR^e(__,X). Si hacemos esto, tendremos un objeto simplicial k-mod, y dicho objeto debe ser el descrito en el artículo de wiki, correspondiente a la Hochschild complejo de cadena.

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