Demostrar que $ x_n = \left(1 + \frac{r}{n} \right)^n $ tiene un límite superior

Question

Pregunté este pregunta pero tal vez mi duda no fue lo suficientemente clara. Así que voy a preguntar algo más específico: Mostrar la secuencia $x_n = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n$ para $ r \in \mathbb{Q}, r>0$ tiene un límite superior.

Traté de mostrarlo como lo hacemos para $a_n = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $ (utilizando la expansión de $a_n$ pero no tuve éxito.

¡Me gustaría tener alguna pista!

Gracias.

Answer 1

Si sabes que $\log(x)\leq x-1$ lo que se deduce de la simetría con la función inversa $\text e^x\geq x+1$ se deduce que $$ 0\leq \log(x_n)=n\ \log\left(1+\frac{r}{n}\right)\leq r $$ demostrando que $x_n$ está acotado. De hecho, esto demuestra que $1\leq x_n\leq \text{e}^r$ . También hay que señalar aquí que $\log(x)$ es una función creciente que preserva las desigualdades.