Intervalo de confianza del 95% de $\lambda$ para $X_1,...,X_n$ IID exponencial con tasa $\lambda$

Question

Sé cómo encontrar la estimación de $\hat{\lambda}$ utilizando el método de los momentos. Puedo tomar el primer momento y equipararlo al empírico para obtener,

$E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}=\bar{x}$ .

Esto da $\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{x}}$ .

Utilizando el método delta para encontrar $var(\hat{\lambda})$ el resultado es $var(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{n}$

Mi pregunta es cómo puedo obtener un intervalo de confianza del 95% para $\lambda$ basado en una muestra $(x_i, . . . ,x_n)$ cuando $n$ es grande?

Mi pensamiento es que como estamos tratando de estimar $\lambda$ ¿cómo podemos obtener un intervalo de confianza para $\lambda$ ? ¿Debo del intervalo de confianza con $\hat\lambda$ ? Al hacer eso me sale,

$\hat\lambda$ $\pm$ $z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{var(\hat\lambda)}$ $\Longrightarrow$ $\hat\lambda$ $\pm$ $z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\lambda^2}{n}}$ $\Longrightarrow$ $\hat\lambda$ $\pm$ $1.96\sqrt{\frac{\lambda^2}{n}}$

¿Cómo puede el intervalo de confianza de $\lambda$ tienen $\hat\lambda$ y $\lambda$ en el intervalo de confianza?

Answer 1

Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño $n$ de $\mathsf{Exp}(\lambda = 1/\mu),$ entonces $\bar X \sim \mathsf{Gamma}(n,\, \text{rate}=n\lambda).$

Así, $P(L \le \bar X\lambda = \bar X/\mu \le U)=0.95,$ donde $L$ y $U$ probabilidad de corte 0,025 de las colas inferior y superior colas de $\mathsf{Gamma}(\text{shape} = n,\, \text{rate}=n),$ respectivamente.

Esto implica que $P(\bar X/U \le \mu < \bar X/L) = .95,$ por lo que un IC del 95% para $\mu$ es de la forma $(\bar X/U, \bar X/L).$

Por ejemplo, si $\mu = 1/\lambda = 5$ y $n = 10,$ podríamos conseguir $\bar X = 3.80.$ A continuación, un IC del 95% para $\mu$ es $(2.22, 7.92).$ Observe que $\bar X$ está contenido en este IC, pero la media de la muestra no se encuentra en el centro del IC. Cálculos en R:

set.seed(1234); a = mean(rexp(10, 1/5)); a
[1] 3.800074
a/qgamma(c(.975,.025), 10, 10)
[1] 2.224242 7.924434

Notas: (1) El Wikipedia artículo sobre distribuciones exponenciales discute la inferencia con cierto detalle; en "Intervalo de confianza el artículo tiene un intervalo de confianza equivalente al mostrado arriba, pero en términos de una distribución chi-cuadrado. (Esto hace que posible encontrar los límites de confianza utilizando tablas de chi-cuadrado impresas).

(2) Para obtener un IC del 95% exacto para la tasa $\lambda,$ tomar recíprocos: $(L/\bar X,\, U/\bar X).$ Sin embargo, observe que $1/\bar X$ es un estimador puntual sesgado de $\lambda,$ con un sesgo que se vuelve insignificante para grandes $n.$

(3) Dado que la distribución exponencial está muy sesgada, no es apropiado utilizar un IC simétrico de la forma $\bar X \pm M,$ fueron $M$ es un margen de error basado en una distribución normal (simétrica), a menos que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. Para una muestra suficientemente grande $n,$ la media $\bar X$ de una muestra exponencial muestra se vuelve aproximadamente normal, y un IC simétrico es una aproximación razonable.

(4) A continuación se muestra una simulación de un millón $\bar X$ basado en muestras aleatorias de tamaño $n = 10$ de $\mathsf{Exp}(\mu = 5).$ El histograma ilustra que $Q = \bar X/\mu \sim \mathsf{Gamma}(\text{shape}=n, \text{rate}=n),$ como se ha afirmado anteriormente. Una prueba formal utiliza funciones generadoras de momentos.

set.seed(2019)
a = replicate(10^6, mean(rexp(10, 1/5)))
hist(a/5, prob=T, col="skyblue2", xlab="Q", 
     main="GAMMA(10,10)")
  curve(dgamma(x,10,10), add=T, lwd=2)
  abline(v = qgamma(c(.025,.975), 10, 10), 
     lwd=2, col="red", lty="dashed")

Answer 2

Hay muchas formas diferentes de intervalos de confianza que se podrían utilizar aquí. En mi opinión, la más sencilla sería utilizar el teorema del límite central para formar una declaración de probabilidad para la diferencia entre la media de la muestra y la media real, y luego "invertirla" para obtener una declaración correspondiente para el parámetro $\lambda$ .

Como los datos proceden de una distribución exponencial, la varianza es el cuadrado de la media. Así, aplicando el teorema del límite central, para grandes $n$ tenemos la distribución aproximada $\bar{X} \sim \text{N}(\mu, \mu^2 /n)$ , donde $\mu = 1 / \lambda$ . Esto nos da el intervalo de probabilidad aproximado:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha &\approx \mathbb{P} \Bigg( - z_{\alpha/2} \leqslant \frac{\bar{X} - \mu}{\mu / \sqrt{n}} \leqslant z_{\alpha/2} \Bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \Bigg( - z_{\alpha/2} \leqslant \sqrt{n} \cdot \frac{1 / \hat{\lambda} - 1/ \lambda }{1 / \lambda} \leqslant z_{\alpha/2} \Bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \Bigg( - z_{\alpha/2} \leqslant \sqrt{n} \cdot \Big( \frac{\lambda}{\hat{\lambda}} - 1 \Big) \leqslant z_{\alpha/2} \Bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \Bigg( 1 - \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \leqslant \frac{\lambda}{\hat{\lambda}} \leqslant 1 + \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \Bigg( \hat{\lambda} \Big( 1 - \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Big) \leqslant \lambda \leqslant \hat{\lambda} \Big( 1 + \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Big) \Bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \Bigg( \frac{1}{\bar{X}} \Big( 1 - \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Big) \leqslant \lambda \leqslant \frac{1}{\bar{X}} \Big( 1 + \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Big) \Bigg). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Sustituyendo los datos de la muestra se obtiene el intervalo de confianza:

$$\text{CI}_\lambda(1-\alpha) \equiv \Bigg[ \frac{1}{\bar{x}} \Big( 1 - \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Big) , \frac{1}{\bar{x}} \Big( 1 + \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \Big) \Bigg].$$

(Nota: Si $n < z_{\alpha/2}^2$ entonces el límite inferior de este intervalo de confianza será inferior a cero. Si este es el caso, no debe utilizar esta forma de intervalo de confianza). Observe también en la otra respuesta de BruceET que se puede utilizar la distribución exacta de la media muestral (la distribución gamma) para eliminar la aproximación. (La gamma se aproxima asintóticamente a la normal, por lo que no hay mucha diferencia cuando $n$ es grande).