No : solo toma $A = \mathbb{F}_p$ .
Este es el único contraejemplo: cualquier subálgebra local completa $\iota_A \colon A \hookrightarrow {\Bbb F}_p[[X]]$ con $A \neq \mathbb{F}_p$ es noetheriano de dimensión Krull 1.
De hecho, si $A \neq \mathbb{F}_p$ entonces $\mathfrak{m}_A \neq 0$ (si no, entonces $A$ sería un campo, y la existencia del morfismo $A \rightarrow {\Bbb F}_p[[X]] \rightarrow \mathbb{F}_p$ implicaría $A = \mathbb{F}_p$ ). Entonces :
-
$\mathfrak{m}_A {\Bbb F}_p[[X]]$ es un ideal no nulo de ${\Bbb F}_p[[X]]$ para que ${\Bbb F}_p[[X]] / \mathfrak{m}_A {\Bbb F}_p[[X]]$ es una dimensión finita $\mathbb{F}_p$ -espacio vectorial.
-
$\mathfrak{m}_A {\Bbb F}_p[[X]]$ está contenida en $(X)$ (en particular, el $A$ -Módulo ${\Bbb F}_p[[X]]$ es $\mathfrak{m}_A$ -adicalmente completa, ya que es $X$ -adicalmente completa). Si no lo fuera, entonces tendríamos alguna ecuación $$ 1 = \sum_i a_i f_i, $$ con $a_i \in \mathfrak{m}_A$ y $f_i \in {\Bbb F}_p[[X]]$ . El elemento $1 - \sum_i a_i f_i(0)$ de $A$ sería entonces un elemento invertible de $A$ y, por tanto, de ${\Bbb F}_p[[X]]$ que pertenece a $(X)$ una contradicción.
Tal y como ha advertido el OP en su comentario, estos dos hechos implican que $\iota_A$ es finito. Ahora, ${\Bbb F}_p[[X]]$ tiene la dimensión de Krull $1$ y $\iota_A$ es integral e inyectiva, por lo que $A$ tiene la dimensión de Krull $1$ por el teorema de Cohen-Seidenberg. Además, $A$ es noetheriano por el teorema de Eakin ( Eakin, P.M. "The Converse to a Welln Known Theorem on Noetherian Rings". Mathematische Annalen 177 (1968): 278-282 ).
