He encontrado la siguiente representación de la elipse $(x,y)=(x_0\cos(\theta+d/2),y_0\cos(\theta-d/2))$ , $\theta \in [0,2\pi]$ . Se trata de un contorno de distribución normal bivariada con varianzas desiguales y correlación $\rho=\cos(d)$ . Sé que es una elipse rotada con centro $(0,0)$ . ¿Cómo encontrar las longitudes de los ejes mayor y menor y el ángulo entre el eje x y el eje mayor?
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Jon Clegg
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Esta fórmula reescala una elipse estándar $(\cos(\theta + d/2), \cos(\theta - d/2))$ (inscrita en el cuadrado unitario) por la matriz diagonal $(x_0, y_0)$ . Por simetría, los valores $\theta = 0$ y $\theta = \pi/2$ corresponden a los vértices de esta elipse estándar, lo que nos permite encontrar sus coordenadas (y por tanto las longitudes de los semiejes), de lo que deducimos fácilmente que su ecuación es $x^2 + y^2 - 2 \rho x y = 1 - \rho^2$ . Aplicando la matriz diagonal se obtiene la forma implícita convencional
$$\left(\frac{x}{x_0}\right)^2 + \left(\frac{y}{y_0}\right)^2 - 2 \rho \frac{x}{x_0} \frac{y}{y_0} = 1 - \rho^2 \text{.}$$
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El semieje mayor será la distancia desde el origen hasta el punto más alejado de la elipse. Así pues, $r^2=x_0^2\cos^2(\theta+d/2)+y_0^2\cos^2(\theta-d/2)$ . Como $r^2$ es una función monótona de $r$ En cambio, puedes maximizarlo, lo que simplifica un poco las cosas. El ángulo entre el $X$ y el eje mayor será entonces la arctangente de $y/x$ en este punto máximo. El semieje menor será la distancia desde el origen al punto más cercano de la elipse, y será $\pi/2$ lejos del semieje mayor.
