Estoy en busca de una "buena" definición de un espacio de Hilbert con una clara base ortonormales (en el espacio de Hilbert sentido) de tal manera que cada elemento base corresponde a un elemento de un determinado conjunto de $X$. Antes de explicar mi intento de una definición de esto, permítanme hablar acerca de algo análogo.
Analogía: Existe algo análogo para espacios vectoriales, es decir, el vector libre del espacio en el set $X$. Este es un espacio vectorial $V(X)$ con una clara base de tal forma que cada elemento base corresponde a un elemento de $X$. Más precisamente, un vector libre del espacio en $X$ es un espacio vectorial $V(X)$, junto con un mapa de $i: X \rightarrow V(X)$ de manera tal que el siguiente universal propiedad está satisfecho: Para cada espacio vectorial $W$ (en el mismo campo) y de cada mapa se $\phi: X \rightarrow W$, no hay una única lineal mapa de $\psi: V(X) \rightarrow W$ tal que $\phi = \psi \circ i$. Para un vector libre del espacio de más de $X$, la $i(X) = \{i(x) \mid x \in X\}$ es una base de $V(X)$ de manera tal que cada elemento de la base corresponde a un elemento de $X$. He oído que uno llama a $V(X)$ el vector libre del espacio debido a $V(X)$ libre de objetos en $X$, pero no entiendo bien este concepto.
Vamos a restringir a los complejos espacios vectoriales. Para un conjunto dado $X$, se puede construir un vector libre del espacio en $X$ de la siguiente manera: se toma el conjunto de $V(X)$ funciones $f: X \rightarrow \mathbb{C}$ con finito de apoyo, dotados de pointwise la suma y la multiplicación escalar. Este es un espacio vectorial con las funciones delta de Kronecker $\delta_x$ (que evaluar a 1 en $x$ y cero en otro lugar) como base. A continuación,$V(X)$, junto con el mapa de $i: X \rightarrow V(X), \ x \mapsto \delta_x$ es un vector libre del espacio en $X$.
Mi intento: Inspirado por la mencionada construcción de un vector libre del espacio en un conjunto $X$, quiero definir un libre espacio de Hilbert en $X$. De nuevo, vamos a restringir a los complejos espacios de Hilbert. Para un conjunto dado $X$, vamos a $\mathcal{H}(X)$ el conjunto de funciones de $f: X \rightarrow \mathbb{C}$ con contables de apoyo tales que $\sum_{x \in \text{supp}(f)} \vert f(x) \vert^2 < \infty$, dotado con pointwise la suma y la multiplicación escalar y el producto interior $\langle f, g \rangle = \sum_{x \in \text{supp}(f) \cap \text{supp}(g)} f(x) \overline{g(x)}$. En otras palabras, establecer $\mathcal{H}(X) := \ell^2(X)$. Este es un espacio de Hilbert, donde las funciones delta de Kronecker $\delta_x$ $x \in X$ formulario de una base ortonormales. Deje $i: X \rightarrow \mathcal{H}(X)$ ser el mapa de $x \mapsto \delta_x$.
Mi pregunta: Es esta una "buena" definición de un libre espacio de Hilbert en un conjunto $X$? Qué satisfacer universal de la propiedad análoga a la de la libre espacios vectoriales? Es este un "espacio de Hilbert con una clara base ortonormales de tal manera que cada elemento base corresponde a un elemento de $X$"?
Lo que me hace ser escéptico es el hecho de que he encontrado un documento en el functor $\ell^2$ en el que se dice que "El importante $\ell^2$–construcción, en muchos modos, lo más parecido que hay a un espacio de Hilbert" (página 1), pero también "Lema 4.8 mostró que $\ell^2(X)$ no es el libre espacio de Hilbert de X, al menos no en el categóricamente significado aceptado." ¿Qué es esta "categóricamente significado aceptado" y cómo se relaciona con la característica universal de la libre espacio vectorial que he mencionado anteriormente?
