Demostrar que existe $c\in(a,b)$ tal que: $\int_a^bf(x)dx = f(\frac{a+b}{2})(b-a)+\frac{f''(c)}{24}(b-a)^3$

Question

Dejemos que $f\in C^2([a,b]). $ Demostrar que existe $c\in(a,b)$ tal que: $$\int_a^bf(x)dx = f(\frac{a+b}{2})(b-a)+\frac{f''(c)}{24}(b-a)^3$$

¿Alguna pista sobre cómo resolver esto? He intentado expandir la función cerca del punto $x = \frac{a+b}{2}$ pero no parecía una buena manera. ¿Quizás un cambio de variables podría ayudar? o incluso la fórmula que relaciona la expansión de taylor con su integral sigue siendo la clave?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Su enfoque sí funciona. Deja que $d=(a+b)/2$ y tenemos $$ f(x) = f(d) + f'(d) (x-d) + \frac{1}{2}f''(\xi(x))(x-d)^2, $$ donde $\lvert \xi(x)-d \rvert < \lvert x-d \rvert$ por el teorema de Taylor con el resto de Lagrange. Integrando sobre $[a,b]$ da $$ \int_a^b f(x) \, dx = f(d)(b-a) + 0 + \frac{1}{2} \int_a^b f''(\xi(x)) (x-d)^2 \, dx, $$ y tenemos que ocuparnos del último término. La forma más fácil es probablemente utilizar el Primer teorema del valor medio de las integrales que dice que si $G$ es no negativo, hay $C \in (a,b)$ para que $$ \int_a^b F(x) G(x) \, dx = F(C) \int_a^b G(x) \, dx. $$ Aplicando esto con $F=f'' \circ \xi$ y $G(x) = (x-d)^2$ da $$ \int_a^b (x-d)^2 \, dx = \frac{1}{3}((b-d)^3-(a-d)^3) = \dotsb = \frac{1}{12}(b-a)^3, $$ y por lo tanto $$ \int_a^b f(x) \, dx = f(d)(b-a) - \frac{1}{24}(b-a)^3 f''(\xi(C)) = f(d)(b-a) + \frac{1}{24}(b-a)^3 f''(c) $$ para algunos $c \in (a,b)$ porque $\xi(C) $ está más cerca de $d$ que $C$ es y, por tanto, sigue en $(a,b)$ .

Answer 2

... añadiendo a la respuesta de Chappers, todavía hay que asegurarse de que tal $\xi(x)$ puede elegirse en realidad como una función continua.

Esto no se suele mostrar en las clases de cálculo de donde yo vivo, así que pensé que podría ayudar a señalarlo.

La demostración debería ser fácil para el teorema del valor medio en general: Comience con un intervalo "estrecho" y elija un $\xi$ y luego ampliar ese intervalo con un pequeño $\varepsilon$ , demuestran que para el intervalo expandido a $\tilde{\xi}$ "cerrar" ( $\varepsilon$ -a la original existe tal que la propiedad del valor medio se mantiene para $\tilde{\xi}$ ...