Un subobjeto permite $A\to B$ si su cokernel mata $A\to B$

Question

Trabajamos en el entorno de una categoría abeliana.

Definimos un monomorfismo $S\to B$ permite $A\to B$ si $A\to B$ factores a través de ella.

El título es un lema de las categorías abelianas de Peter Freyd, P42. La parte sólo si es fácil de demostrar, para demostrar la parte si, digamos el cokernel de $S\xrightarrow{s}B$ mata a $A\xrightarrow{f}B$ entonces puedo encontrar un morfismo desde $cok(f)$ a $cok(s)$ utilizando la propiedad universal del cokernel. ¿Cómo puedo construir un mapa a partir de $A$ a $S$ ?

Answer 1

Yo procedería de otra manera: utilizando el hecho de que $$\text{coker}(s) \circ f=0$$ sabemos que $f$ factores a través de $\ker (\text{coker} (s))$ pero para cualquier monomorfismo $m$ en una categoría abeliana, $\ker(\text{coker}(m))=m$ .

El hecho de los monomorfismos se deriva de que en una categoría abeliana todo monomorfismo $m=\ker h$ para algún morfismo $h$ y que en cualquier categoría aditiva $\ker (\text{coker} (\ker f))=\ker f$ .