Encontrar la distribución gaussiana dados los percentiles 15 y 50.

Question

Mis conocimientos de estadística son escasos por lo que necesito un poco de ayuda.

Tengo algunos datos que muestran la relación entre la edad y la velocidad de la marcha. Los números de la velocidad de marcha se presentan sólo como el percentil 15 y el 50. Por ejemplo: Niño(0-12 años): 1,07m/s (percentil 15) 1,33m/s (percentil 50).

Necesito encontrar el porcentaje que hay entre 1,0m/s - 1,2m/s y 1,2m/s - 1,4 m/s, etc. Es decir, la probabilidad de observar a un niño caminando entre 1,0 y 1,2 m/s, etc.

¿Es posible? Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Esto no es posible a menos que se conozca (o se asuma) la forma de la distribución. Lo ilustraré para el caso de una familia de distribución Normal. El mismo procedimiento funciona para casi cualquier forma de distribución, siempre que se pueda determinar una única distribución en la familia con sólo dos percentiles. (En la práctica, esto suele significar que la familia utiliza como máximo dos parámetros .)

El primer paso es dibujar la función de densidad de probabilidad (PDF) para la distribución. Este método utiliza áreas para representar las probabilidades. En el presente caso, la información de que disponemos significa que $15$ del área debe estar a la izquierda de $1.07$ m/s y $50$ del área debe estar a la izquierda de $1.33$ m/s. (Restando, deducimos $35 = 50-15$ El % de la superficie se encuentra entre $1.07$ y $1.33$ .)

El siguiente paso es buscar o calcular los valores de estos percentiles para un estándar versión de la distribución es una distribución de la forma deseada (como la Normal) cuyos percentiles han sido tabulados o pueden ser calculados. (Por comodidad matemática, suele tener una media de cero y una desviación estándar unitaria). En el ejemplo encontramos que la $15$ percentil de la distribución normal estándar está cerca de $-1.04$ y su $50$ percentil es $0$ (exactamente). Rotula el eje x tanto con el estándar y con su valores:

Dado que el eje x ha sido etiquetado con dos valores distintos que son relevantes para usted, ahora puede averiguar (mediante interpolación y extrapolación lineal) precisamente dónde etiquetarlo con cualquier otro valor. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en calcular el área entre $1.6$ m/s y $1.8$ m/s. Encuentre las ubicaciones de esas etiquetas y -mediante extrapolación lineal- determine las correspondientes estándar valores:

Como ejemplo del cálculo, $1.6$ es $0.27$ mayor que $1.33$ y $1.33$ es $0.26$ mayor que $1.07$ . Porque $1.33$ es $1.04$ mayor que $1.07$ en las unidades de la distribución estándar entonces también $1.6$ debe ser proporcionalmente mayor que $1.33$ en las unidades estándar: es decir, debe ser exactamente $0.27/0.26$ veces $1.04$ mayor que $0$ : ahí es donde el $1.08$ viene en la figura. El valor de $1.87$ se determina de la misma manera.

Una vez más, utilizando tablas o cálculos de la distribución estándar (o incluso una estimación visual), se puede determinar el área entre los valores de interés: en este caso está cerca de $11$ %.

Este método pictórico es útil no sólo para guiar los cálculos, sino también para razonar semicuantitativamente sobre la distribución. Por ejemplo, ahora debería ser evidente que si Si la velocidad al caminar se distribuye normalmente (al menos de forma aproximada), entonces muy pocos superarán $2.1$ m/seg (eso sería fuera donde la cola derecha parece encontrarse con el eje x, lo que sugiere un área muy pequeña) o ser menos de $0.55$ m/seg (eso sería donde la cola izquierda se encuentra con el eje x).