Círculo de dieciséis puntos - Una conjetura sobre el plano de Möbius

Question

La conjetura remite al lector sobre la Teorema de Bundle configuración. (Esta conjetura de una nota )

Consideremos la configuración del teorema del Bundle :

Puntos $A_1, A_2, A_3, A_4$ se encuentran en un círculo,

puntos $B_1, B_2,B_3, B_4$ se encuentran en un círculo,

puntos $A_1, A_2, B_1, B_2$ se encuentran en un círculo,

puntos $B_1, B_2, A_3, A_4$ se encuentran en un círculo,

puntos $B_3, B_4, A_3, A_4$ se encuentran en un círculo,

y puntos $A_3, A_4, A_1, A_2$ se encuentran en un círculo.

Que el par de círculos $(P_1P_3Q_i)$ y $(P_2P_4Q_j)$ es tal que {si $P=A$ entonces $Q=B$ } o {si $P=B$ entonces $Q=A$ } y si { $i=1$ entonces $j=2$ } o {si $i=2$ entonces $j=1$ } o {si $i=3$ entonces $j=4$ } o {si $i=4$ entonces $j=3$ }. Por lo tanto, hay ocho pares de círculos con esta definición.

Con un par de círculos $(P_1P_3Q_i)$ y $(P_2P_4Q_j)$ tenemos dos puntos en común. Por lo tanto, tenemos 16 puntos de intersección de $8$ pares de círculos.

La conjetura: Los dieciséis puntos de intersección de los ocho pares de círculos se encuentran en un círculo.

El problema es cierto para la geomtría del plano euclidiano, y se construye sobre la configuración del teorema del haz, el teorema del haz cierto para el plano de Möbius. ¿No sé si la conjetura es también verdadera para el plano de Möbius? No he encontrado lo que busco.

Answer 1

Hay un círculo $\omega$ perpendicular a todos los círculos amarillos (su centro es la intersección de $A_1A_2$ y $A_3A_4$ ). Si se hace la inversión en $\omega$ puntos $A_1$ y $A_2$ van entre sí, lo mismo ocurre con los pares $A_3$ y $A_4$ , $B_1$ y $B_2$ , $B_3$ y $B_4$ . Eso significa que sus círculos $(P_1P_3Q_i)$ y $(P_2P_4Q_j)$ simétrico con respecto a $\omega$ por lo que los puntos de intersección de los mismos se encuentran en $\omega$ , que es el círculo verde en su figura.