Si $a^4+b^4\in\mathbb Q$$a^3+b^3\in\mathbb Q$$a^2+b^2\in\mathbb Q$, demuestran que, a $a+b\in\mathbb Q$$ab\in\mathbb Q$.

Question

Si $\begin{cases}a^4+b^4\in\mathbb Q\\ a^3+b^3\in\mathbb Q\\ a^2+b^2\in\mathbb Q\end{cases}$, demuestran que, a $a+b\in\mathbb Q$$ab\in\mathbb Q$. Se da eso $a,b\in\mathbb R$.

La prueba de esto último sería simplemente una continuación de la anterior, y viceversa. Así que creo que una mejor pregunta sería:

Probar una de estas declaraciones: $a+b\in\mathbb Q$ o $ab\in\mathbb Q$.

El problema es que, desde la selección a la OMI.

Yo he probado un montón de cosas, incluyendo la identidad: $$a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)\\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\ (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ \text{etc...}$$

Incluso si se pudiera solucionar el problema con estas identidades, haciendo lo más probable es que ser bastante tedioso en mi humilde opinión... Cualquier observaciones, sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: $(a^4+b^4)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)^2 = a^2b^2(a^2+b^2-2ab)$. Ahora uso @Praphulla del comentario.

Answer 2

(Nota, añadió más tarde: Esta respuesta fue publicado antes de la OP agregada la estipulación de que los $a,b\in\mathbb{R}$.)

Esto es más pesadas que ronno la resbaladiza pista, pero tal vez se muestra más del proceso de pensamiento:

$$(a^2+b^2)^2=a^4+2(ab)^2+b^4\implies (ab)^2\in\mathbb{Q}$$ $$(a^2+b^2)^3=a^6+3(ab)^2(a^2+b^2)+b^6\implies a^6+b^6\in\mathbb{Q}$$ $$(a^3+b^3)^2=a^6+2(ab)^3+b^6\implies (ab)^3\in\mathbb{Q}$$ $$(ab)^2\in\mathbb{Q}\land (ab)^3\in\mathbb{Q}\implies ab\in\mathbb{Q}$$

Sería bueno probar $a+b\in\mathbb{Q}$ como bueno, pero no se puede: $a=1+\sqrt{-3}, b=-1+\sqrt{-3}$ es un contraejemplo. Lo que se puede mostrar es

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\implies a+b\in\mathbb{Q}\lor a^2-ab+b^2=0$$

es decir, $a+b$ es racional, a menos que $a^3=-b^3$$a\not=-b$.

Answer 3

Tal vez este útil deje $x_{n}=a^n+b^n$,luego $$x_{n}=(a+b)x_{n-1}-abx_{n-2}$$