Tengo problemas con la prueba de la Proposición 2.4.9 en el libro de Hovey Categorías de modelos .
Propuesta. Los repliegues de deformación se cierran bajo los empujes.
Prueba. Supongamos que tenemos un diagrama de empuje $$\require{AMScd} \begin{CD} A @>{f}>> C\\ @V{i}VV @VV{j}V\\ B @>>{g}> D\end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión de un repliegue de deformación. Dado que $I$ se genera de forma compacta, $(-\times I) \dashv (I\Rightarrow -)$ Así que $(-\times I)$ preserva los colímites, por lo que $D\times I$ es el empuje de $B\times I$ y $C\times I$ en $A\times I$ . Sea $K:B\times I\rightarrow B$ sea una homotopía que hace que $i$ en la inclusión de un repliegue de deformación. A continuación, $gK$ junto con el mapa $C\times I\rightarrow D$ definido por $(c,t)\mapsto j(c)$ definen, por la propiedad universal del empuje, una flecha $H:D\times I\rightarrow D$ . Por construcción , $H(c,t)=j(c)$ para todos $c\in C$ , y $H(d,0)=d$ para todos $d\in D$ . Desde $K(b,1)\in iA$ para todos $b\in B$ se deduce que $H(d,1)\in jC$ para todos $d\in D$ . Desde $j$ es un mapa de inclusión, $H$ es una retracción de la deformación, como se requiere. $\square$
Mi problema: De la conmutatividad de los triángulos del diagrama universal obtuve $H(c,t)=c$ . Sin embargo, la segunda ecuación que obtuve es $H(g(b),t)=g(b)$ en lugar de $H(d,0)=d$ . ¿Por qué se sostiene esto último y cómo puedo demostrarlo? Además, ¿cómo $H(d,1)\in jC$ para todos $d\in D$ ¿seguir?
Actualización: He conseguido demostrar el teorema utilizando el hecho de que los retractores se cierran bajo los empujones junto con la unicidad de la flecha inducida. No estoy seguro de si esto es lo que quería decir el autor, así que mi pregunta sigue en pie.
