¿Puede un polígono convexo dentro de un cuadrado con longitud de arista 1 tener un perímetro > 4?

Question

El otro día, mientras hacía garabatos a vuelapluma, me di cuenta de que probablemente sea imposible dibujar un polígono convexo con un perímetro mayor que el del cuadrado que lo rodea.

¿Puede alguien encontrar un contraejemplo o incluso una prueba?

Answer 1

Si un conjunto convexo está contenido en otro conjunto, el conjunto convexo tiene menor perímetro.

Esto puede entenderse considerando el mapa de proyección sobre el conjunto convexo (es decir, el mapa que envía un punto al punto más cercano del conjunto convexo). Se trata de un mapa que no aumenta las distancias y envía el perímetro del conjunto envolvente al perímetro del conjunto convexo.

Una prueba formal general de este hecho podría obtenerse mediante los siguientes hechos:

1. La proyección sobre un conjunto convexo es una $1$ -Mapa de Lipschitz
2. La medida de la imagen de un conjunto no aumenta a través de un $1$ -Mapa de Lipschitz
3. La proyección de la frontera de un conjunto que contiene un conjunto convexo contiene toda la frontera del conjunto convexo.

Para tu caso especial (es decir, los polígonos) puedes conseguir una prueba elemental observando que la proyección de un segmento sobre cualquier línea no es más larga que el propio segmento. Subdividiendo las aristas del polígono exterior de forma que cada arista se proyecte sobre una única arista del conjunto convexo interior, deberías conseguir demostrar el resultado.

Answer 2

Reformularé el argumento de Emanuele Paolini sin " $1$ -Lipschitz" y proyección. Coloca una bomba dentro del polígono convexo. Cuando estalla, el polígono se rompe en los vértices, y cada uno de sus lados sale volando en la dirección en la que estaba orientado: Dibujé flechas para mostrar las direcciones en las que van dos de los lados.

Volando hacia fuera, cada lado saca un trozo del límite del cuadrado. Usa algo de geometría para demostrar que

1. El trozo sacado por cada lado es al menos tan largo como el propio lado.
2. Los trozos sacados por los diferentes bandos no se superponen.

La conclusión se desprende de 1 y 2.