Aclarando un comentario de Serre

Question

Deje $\rho_{\ell}$ ser el "mod $\ell$" Galois representación asociada a una curva elíptica $E/K$ (es decir, correspondiente a la acción de Galois en el $\ell$-torsión puntos). Serre demostrado que en el caso de que la imagen de Galois es el normalizador de un nonsplit Cartan subgrupo, de esta forma se define una ecuación cuadrática de la extensión de $K$ que en realidad es unramified.

En el transcurso de la prueba, hace el siguiente comentario, que no puedo descifrar. Si $E$ ha multiplicativo reducción en un primer $v$ no dividiendo $\ell$, entonces la teoría de la Tate curvas da la exacta secuencia de

$$ 0 \rightarrow \mu_{\ell} \rightarrow E_{\ell} \rightarrow \mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z} \rightarrow 0, $$

que es compatible con la acción de la inercia del grupo en $v$, denotado $I_v$. Por lo tanto, la imagen de $I_v$ bajo este representaciones de Galois es trivial o cíclico de orden $\ell$.

Ahora, puedo ver por qué este debe ser el caso: desde $v \nmid \ell$, la inercia de los actos trivialmente en $\mu_{\ell}$ ($\ell$th raíces de la unidad). De acuerdo a la teoría de la tate curvas, el $\ell$-torsión puntos son generados por $\mu_{\ell}$$q^{1/\ell}$; este es un grado $\ell$ extensión o trivial.

Sin embargo, esto no parece tener nada que ver con Serre exacta de la secuencia, y se me figura que el aprendizaje de cómo Serre ve este pequeño hecho, podría ser útil. Alguien me puede decir lo que significa?

Answer 1

Primero un par de referencias para aquellos que no saben el origen. La declaración de que usted está preguntando acerca de está en la página 296 de Serre "Propriétés galoisiennes des puntos d'ordre fini des courbes elliptiques". El origen de la secuencia exacta que usted ha mencionado se explica en Serre "Abelian l-ádico representaciones y curvas elípticas", Ch. IV, pág. 31.

Ahora, sobre tu pregunta: una página antes de la declaración en cuestión (en p. 295) Serre explica que $\varphi_l(I_w)$ es de orden $l-1$ o $l(l-1)$, y puede ser representado como un subgrupo de matrices de la forma $$\left\{ \left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & 1\\\end{array}\right): a\in \mathbb{F}_l^\ast, \ b\in \mathbb{F}_l\right\}.$$ La breve secuencia exacta $0\to \mu_l \to E_l \to \mathbb{Z}/l\mathbb{Z}\to 0$, compatible con la acción de la inercia, dice (para mí de todos modos) que podemos identificar el núcleo de la reducción de la $E_l \to E \bmod l$$\mu_l$. La acción de la inercia en el núcleo de la reducción se da precisamente por la esquina superior izquierda de las matrices dadas anteriormente. Dado que la acción de la inercia $I_w$ $\mu_l$ es trivial (por la razón que usted menciona, $v\nmid l$), en la esquina superior izquierda de la representación de la matriz de la acción de la inercia es trivial, y llegamos a la conclusión de que $\varphi_l(I_w)$ es un subgrupo de

$$\left\{ \left(\begin{array}{cc}1 & b \\ 0 & 1\\\end{array}\right): b\in \mathbb{F}_l\right\}.$$

Por lo tanto, la imagen de $I_w$ es trivial o de orden $l$.

Answer 2

A medida que escribe, al $E$ es un Tate curva, el $\ell$-torsión $E[\ell]$ contiene $\mu_{\ell}$ como Galois-sub-módulo, con el cociente $E[\ell]/\mu_{\ell}$ siendo generada por la imagen de $q^{1/\ell}$. Tenga en cuenta que cualquier Galois conjugado de $q^{1/\ell}$ es igual a $\zeta q^{1/\ell}$ algunos $\zeta \in \mu_{\ell}$, y para el Galois de acción en $q^{1/\ell}$ modulo $\mu_{\ell}$ es trivial. Esto da la exacta secuencia $0 \to \mu_{\ell} \to E[\ell] \to \mathbb Z/\ell \to 0.$