Resolver un sistema de ecuaciones $ y + 3x = 4x^3$ y $x + 3y = 4y^3$

Question

Problema: En el conjunto de los números reales encontrar todos $x,y$ que satisfagan $ y + 3x = 4x^3,x + 3y = 4y^3$ .

Lo que no entiendo, es cómo sé que una condición satisface ambas ecuaciones(luego lo demostraré exactamente).

La solución es la siguiente: Por adición y sustracción de las ecuaciones obtenemos las siguientes 2 ecuaciones: $x + y = (x + y)(x^2 xy + y^2),x y = 2(x y)(x^2 + xy + y^2)$ . Mi pregunta es: ¿cómo puedo saber qué condiciones tienen que ser ciertas? Según la solución $x+y=0$ o $x-y=0$ que entiendo. Mi problema viene cuando mencionan que ambos $(x^2 + xy + y^2)=1/2$ y $(x^2 - xy + y^2)=1$ tienen que ser ciertas al mismo tiempo. ¿Por qué ambas cosas? ¿Cómo funcionan los sistemas de ecuaciones y cómo sabemos que no habrá otra solución si multiplicamos o dividimos las ecuaciones? Cualquier consejo para este tipo de problemas será muy apreciado.

Pregunta 2: ¿Por qué no podemos también intentar encontrar una solución que satisfaga por ejemplo $x-y=0$ y $(x^2 xy + y^2)=1$

Answer 1

He aquí una forma natural de resolver el sistema. Continúa con,

$$x + y = (x + y)(x^2 − xy + y^2),\>\>\>\>\> x − y = 2(x − y)(x^2 + xy + y^2)$$

o,

$$(x + y)(x^2 − xy + y^2-1)=(x − y)(x^2 + xy + y^2-\frac12)=0$$

Por lo tanto, hay cuatro casos a tener en cuenta,

Caso 1: Sustitución $x-y=0$ en una de las ecuaciones originales, digamos, $y + 3x = 4x^3$ , lo que lleva a,

$$4x(x^2-1)=0\implies x= 0, \pm 1$$

Caso 2: De forma similar, $x+y=0$ conduce a,

$$2x(2x^2-1)=0\implies x = 0,\pm \frac 1{\sqrt2}$$

Caso 3: Sustitución $x^2 − xy + y^2-1=0$ en $y+3x=4x^3$ , lo que lleva a

$$16x^6-28x^4+13x^2-1=0,\>\> \text{or}$$

$$(x^2-1)(16x^4-12x^2+1)=0\implies x=\pm 1,\pm\frac{\sqrt5\pm 1}{4}$$

Caso 4: De forma similar $x^2 + xy + y^2-\frac12=0$ lleva a

$$(2x^2-1)(16x^4-12x^2+1)=0\implies x=\pm \frac1{\sqrt2},\pm\frac{\sqrt5\pm 1}{4}$$

Por lo tanto, todas las soluciones reales son:

$(0,0), (1,1), (-1,-1), (\frac 1{\sqrt2},-\frac 1{\sqrt2}), (-\frac 1{\sqrt2},\frac 1{\sqrt2}), $ $(\frac {\sqrt5 + 1}{4},\frac {-\sqrt5 + 1}{4}), (\frac {\sqrt5 - 1}{4},\frac {-\sqrt5 - 1}{4}), (\frac {-\sqrt5 + 1}{4},\frac {\sqrt5 + 1}{4}), (\frac {-\sqrt5 - 1}{4},\frac {\sqrt5 - 1}{4})$

Nótese que el sistema de las dos ecuaciones es implícitamente de noveno orden. Por lo tanto, se espera que tenga nueve pares de soluciones.

Answer 2

Si $$a\cdot b =a\cdot b'$$ y $$c\cdot d=c\cdot d'$$ entonces si $a\neq 0 $ y $c\neq 0$ entonces $b=b'$ y $d=d'$ .

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Para la segunda pregunta, si $m\cdot n =0$ entonces ahora sólo $m=0$ o $n=0$ . No es necesario que ambos sean $0$ .

Answer 3

Una pista.

Tenemos con $f(x) = 4x^3-3 x$

$$ y = f(x)\\ x = f(y)\\ $$

o

$$ y = f^2(y)\\ x = f^2(x) $$

por lo que las soluciones son los puntos fijos

que son

$$ \left\{0,\pm 1, \pm\frac{\sqrt 2}{2},\frac 14\left(-1\pm\sqrt 5\right),\frac 14\left(1\pm\sqrt 5\right)\right\} $$

NOTA

$$ f^2(x)-x = f(f(x)) -x = 8 (x-1) x (x+1) \left(2 x^2-1\right) \left(4 x^2-2 x-1\right) \left(4 x^2+2 x-1\right) $$