Plano tangente a una curva paramétrica

Question

Encontrar el plano tangente a una curva paramétrica $$\vec r(u) = x(u)\mathbf i + y(u)\mathbf j + z(u)\mathbf k$$

Sé que la tangente línea en un punto $u = u_0$ viene dada por $$\vec \ell(t) = \vec r(u_0) + \vec r'(u_0)(t - u_0)$$ pero ¿qué pasa con el avión Pero

Answer 1

No hay tangente avión , sólo una tangente línea . La razón es que su curva es un colector unidimensional y el espacio tangente tiene la misma dimensión que el colector.

Intuitivamente, un vector tangente $v$ representa la velocidad y la dirección de un cuerpo que se mueve en el colector mientras permanece "en" ese colector. Por ejemplo, si estás caminando sobre la tierra mientras permaneces con los pies en el suelo, sólo puedes moverte de forma tangente al suelo. En tu caso tienes una curva, que es como un camino, por lo que sólo puedes moverte hacia adelante o hacia atrás con diferentes velocidades, por lo que el espacio tangente es una línea.

Answer 2

Tienes una entrada, así que puedes imaginar una recta numérica de todas las entradas, cada una de las cuales tiene una salida correspondiente (tridimensional). Ahora imagina que todas las entradas posibles van a sus salidas, es decir, imagina que esa recta numérica se mueve para convertirse en alguna otra recta en 3 dimensiones. Esta es tu curva paramétrica, el conjunto de todas las posibles salidas según el rango de entrada.

Ten en cuenta que tu curva paramétrica es sólo una línea (aunque probablemente se curve y doble en 3 dimensiones), y no un plano, por lo que puedes encontrar una línea tangente, pero no tiene sentido encontrar un plano tangente. Todos los posibles planos que contengan esa línea estarán tocando la curva en ese punto (y por lo tanto serán tangentes), y como no hay curvatura de una superficie en otras direcciones, no hay manera de elegir si alguno de ellos es mejor (con una paramétrica superficie La mayoría de ellos intersectarán la superficie en algún lugar próximo a la línea, y no serán tangentes, por lo que tiene sentido hablar de un plano tangente).

Espero que esto haya servido de ayuda.