Por desgracia, estoy atascado en lo que me parece una pregunta fácil. Es bien sabido que si uno considera $R$ como una categoría de un solo objeto, digamos $\mathcal{A}$ la categoría de (derecha) $R$ -Módulo $\textbf{Mod}~R$ es sólo la categoría de preseaves aditivos $\mathrm{Add}[\mathcal{A},\mathbf{Ab}]$ .
¿Pero cómo vemos entonces esos funtores como módulos? Supongo que esto se hace considerando el grupo abeliano $F(R)$ donde la multiplicación escalar se define por $R \to F(R), f \mapsto F(f)$ ya que $\mathrm{Hom}_\mathcal{A}(R,R) = R$ . ¿Funciona así? ¿Existe una buena referencia donde se explique esto?
Además, ¿qué módulos corresponden a las preseaves representables? Claramente, $R_R$ debería ser uno, pero ¿tengo más? Sólo hay un objeto que representar, pero puedo tener varios isomorfismos naturales (es decir, homomorfismos de módulo) para elegir. ¿Hay algún nombre especial para esos módulos? ¿Se llamarían representables?
Respuestas
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Lo tienes claro.
No hay ninguna diferencia esencial entre este ejemplo y el de los grupos que actúan sobre conjuntos, que suele discutirse como ejemplo básico cuando se introducen las categorías y los funtores.
El lema de Yoneda se puede enunciar adecuadamente en el caso de Ab -por lo que cualquier categoría aditiva pequeña es equivalente a su correspondiente categoría de preformas representables de grupos abelianos.
Es decir, todo módulo de este tipo es isomorfo a $\hom(R,R)$ .
Una categoría de un objeto es sólo un monoide, es decir, su única estructura es $M=\text{Map}(A,A)$ que es un monoide. Un presheaf con valor de grupo abeliano en $\mathcal A$ es un grupo abeliano con un endomorfismo correspondiente a a cada elemento del monoide, que se compone en línea con la multiplicación en el monoide. En otras palabras, $G$ es un módulo para el monoide anillo $\Bbb Z M$ (como un anillo de grupo, pero con un monoide en su lugar).
Entender lo que es un anillo: Dado un anillo $R$ olvidando la estructura aditiva se obtiene un monoide $(R,\times)$ . $B(R,\times)$ junto con un enriquecimiento en $Ab$ son los mismos datos que el anillo $R$ . Lo llamaremos $Ab$ -categoría enriquecida $BR$ .
La afirmación es que un módulo sobre un anillo es un functor aditivo $BR \xrightarrow{F} Ab$ : El módulo, considerado como un grupo abeliano, es el valor $F(*):=M$ del functor evaluado en el único objeto de $BR$ . El mapa de multiplicación $M \xrightarrow{r} M$ por un elemento $r \in R=Mor(BR)$ viene dada por $F(r)$ . Y esta multiplicación satisface la compatibilidad aditiva requerida porque $F$ es un functor aditivo.
