Integral primitiva de $a/(x^2 + a^2)$

Question

Integrar lo siguiente: $$\displaystyle \int \frac{a}{x^2+a^2} dx$$

Hice una aproximación por sustitución $\displaystyle \gamma = \frac{x}{a}$ y terminó con $\displaystyle \arctan\left(\frac{x}{a}\right)$ ¿es correcto?

Answer 1

Sí, la respuesta es correcta, pero la sustitución trigonométrica en última instancia, tendría que ser $\gamma = \dfrac xa = \tan\theta$ o $\theta = \arctan\left(\dfrac xa\right)$ , tanto si esa sustitución se hace directamente, como si se hace indirectamente a partir de la fórmula integral para integradas de esa forma que se basa en esa sustitución.

Answer 2

$$\frac a{a^2+x^2}=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2}\implies$$

$$\int\frac a{a^2+x^2}dx=\int\frac{\frac1adx}{1+\left(\frac xa\right)^2}=\ldots$$

Ahora usa el hecho general (que debes demostrar, por ejemplo, usando la regla de la cadena)

$$\int\frac{f'(x)dx}{1+f(x)^2}=\arctan f(x)+C$$