Un amigo me ha pedido que calcule el valor de un determinado determinante, pero después de dedicarle bastante tiempo no consigo encontrarle una solución. El determinante dado es:
$$ \begin{vmatrix} 0 & 1 & \cdots &n-2&n-1 \\ n-1 & 0 & \cdots &n-3&n-2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n-1 &0 \\ \end{vmatrix} $$
También se supone que mi amigo resuelve este determinante por métodos más o menos elementales, como operaciones elementales de fila, transposición... y nada de valores propios, ni adjuntos.
En primer lugar parece que el valor del determinante es:
$$ \frac{1}{2n}\begin{vmatrix} 0 & n & \cdots &n&n \\ n & 0 & \cdots &n&n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ n & n & \cdots & n &0 \\ \end{vmatrix} $$
De todas formas he probado a añadir todas las filas a la última y tomando $\frac{n(n-1)}{2}$ delante para tener una fila de 1s, pero no me ayudó mucho.
Entonces traté de usar el hecho de que:
$$ \begin{vmatrix} A & C \\ 0 & B \\ \end{vmatrix} = \det(A) \cdot \det(B) $$ , donde $A,B$ son matrices cuadradas. Al restar la $(\frac{n}{2} + i)$ -ésima columna de la $i$ -a ( $i=0,1,2...$ ) y luego añadir el $i$ -a la fila de la $(\frac{n}{2} + i)$ -a fila, se puede obtener la forma deseada, pero de nuevo nada más. También este método falla bastante cuando $n$ es impar.
Mi mejor intento fue notar que $A_{ij} + A_{ji} = n$ y utilizando $\det(A^{T}) = \det(A)$ pero desgraciadamente
$$\begin{vmatrix} 0 & n & \cdots &n&n \\ n & 0 & \cdots &n&n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ n & n & \cdots & n &0 \\ \end{vmatrix} \not = \begin{vmatrix} 0 & 1 & \cdots &n-2&n-1 \\ n-1 & 0 & \cdots &n-3&n-2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n-1 &0 \\ \end{vmatrix} + \left( \begin{vmatrix} 0 & 1 & \cdots &n-2&n-1 \\ n-1 & 0 & \cdots &n-3&n-2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n-1 &0 \\ \end{vmatrix}\right)^T$$ Intenté descomponer el LHS utilizando el $n-$ linealidad de los determinantes, para entonces se obtiene $2^n$ determinantes en el RHS similar a la primera, pero las cosas están desordenadas.
