Un amigo me ha pedido que calcule el valor de un determinado determinante, pero después de dedicarle bastante tiempo no consigo encontrarle una solución. El determinante dado es:
|01⋯n−2n−1n−10⋯n−3n−2⋮⋮⋱⋮⋮12⋯n−10|
También se supone que mi amigo resuelve este determinante por métodos más o menos elementales, como operaciones elementales de fila, transposición... y nada de valores propios, ni adjuntos.
En primer lugar parece que el valor del determinante es:
12n|0n⋯nnn0⋯nn⋮⋮⋱⋮⋮nn⋯n0|
De todas formas he probado a añadir todas las filas a la última y tomando n(n−1)2 delante para tener una fila de 1s, pero no me ayudó mucho.
Entonces traté de usar el hecho de que:
|AC0B|=det , donde A,B son matrices cuadradas. Al restar la (\frac{n}{2} + i) -ésima columna de la i -a ( i=0,1,2... ) y luego añadir el i -a la fila de la (\frac{n}{2} + i) -a fila, se puede obtener la forma deseada, pero de nuevo nada más. También este método falla bastante cuando n es impar.
Mi mejor intento fue notar que A_{ij} + A_{ji} = n y utilizando \det(A^{T}) = \det(A) pero desgraciadamente
\begin{vmatrix} 0 & n & \cdots &n&n \\ n & 0 & \cdots &n&n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ n & n & \cdots & n &0 \\ \end{vmatrix} \not = \begin{vmatrix} 0 & 1 & \cdots &n-2&n-1 \\ n-1 & 0 & \cdots &n-3&n-2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n-1 &0 \\ \end{vmatrix} + \left( \begin{vmatrix} 0 & 1 & \cdots &n-2&n-1 \\ n-1 & 0 & \cdots &n-3&n-2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n-1 &0 \\ \end{vmatrix}\right)^T Intenté descomponer el LHS utilizando el n- linealidad de los determinantes, para entonces se obtiene 2^n determinantes en el RHS similar a la primera, pero las cosas están desordenadas.
