Demostración de que el espacio de operadores lineales acotados es completo

Question

Dejemos que $\mathfrak{X}$ sea un espacio normado y sea $\mathfrak{Y}$ sea un espacio normado completo. Demostrar que $\mathfrak{L}(\mathfrak{X},\mathfrak{Y})$ está completo.

Por lo que sé, para demostrar que un espacio es completo hay que demostrar que toda secuencia de Cauchy converge, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Si $T_n$ es una secuencia de Cauchy en $\mathcal L (X,B)$ , entonces para cualquier $x \in X$ , $T_n(x)$ es una secuencia de Cauchy en $B$ . Desde $B$ es completa, esta secuencia converge.

Definir un nuevo operador lineal $T : X \to B$ cartografía $x \mapsto \lim_{n \to \infty} T_n(x)$ .

Ahora demuestre que $T_n \to T$ en la norma del operador. Sea $\epsilon > 0$ . La propiedad de Cauchy dice que existe un $N$ tal que $$m,n > N \implies \sup_{||x || \leq 1} ||T_n(x) - T_m (x) || < \epsilon.$$ Toma el límite $m \to \infty$ .

[Si su anotación $\mathcal L (X, B)$ se refiere a limitado operadores, entonces también hay que demostrar que $T$ está acotado. Te dejaré hacer eso si es necesario].