Prueba de que $ \|x+y\|^2 - \|x\|^2 \geq b(1 - 2^{-n})\|y\|^2 + 2^n( \|x+2^{-n}y\|^2 - \|x\|^2), \quad \forall x,y \in E, \forall n \in \mathbb N $

Question

Supongamos que $E$ es un espacio de Banach sobre $\mathbb R$ que satisface la siguiente desigualdad, para algún $b > 0$

$$ \|x+y\|^2 + b\|x-y\|^2 \leq 2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2, \quad \forall x,y \in E $$

Estoy tratando de probarlo:

$$ \|x+y\|^2 - \|x\|^2 \geq b(1 - 2^{-n})\|y\|^2 + 2^n( \|x+2^{-n}y\|^2 - \|x\|^2), \quad \forall x,y \in E, \forall n \in \mathbb N \quad (I) $$

Mi intento: Una prueba de inducción sobre $n$ .

Para $n = 1$ utilizando la hipótesis que sustituye a $x$ y $y$ para $(x+y)/2$ y $x/2$ , respectivamente, tenemos:

$$ \|x + y/2\|^2 + b \|y/2\|^2 \leq 2\|(x+y)/2 \|^2 + 2\|x/2\|^2 = \frac{\|x+y\|^2}{2} + \frac{\|x\|^2}{2} $$ $$ \therefore \quad 2\|x+ 2^{-1}y\|^2 + b2^{-1}\|y\|^2 \leq \|x+y\|^2 + \|x\|^2 $$ $$ \therefore \quad \|x+y\|^2 - \|x\|^2 \geq b2^{-1}\|y\|^2 + 2(\|x+ 2^{-1}y\|^2 - \|x\|^2) $$ que es la desigualdad $(I)$ para $n = 1$ .

Si supongo que $(I)$ funciona para algunos $n > 1$ Tengo que probar que

$$ \|x+y\|^2 - \|x\|^2 \geq b(1 - 2^{-n-1})\|y\|^2 + 2^{n+1}( \|x+2^{-n-1}y\|^2 - \|x\|^2), \quad \forall x,y \in E \quad (II) $$

Sin embargo no sé cómo concluirlo. ¡¡Gracias por cualquier ayuda!!

Answer 1

Creo que podría haber resuelto el problema. Reescribamos (I) como

$$ \|x+y\|^2 - \|x\|^2 \geq b(\frac{2^n - 1}{2^n})\|y\|^2 + 2^n\|x+\frac{1}{2^n}y\|^2 - 2^n\|x\|^2 $$ $$ 2^n\|x+y\|^2 - 2^n\|x\|^2 \geq b(2^n - 1)\|y\|^2 + (2^n)^2\|x+\frac{1}{2^n}y\|^2 - (2^n)^2\|x\|^2 $$ $$ 2^n\|x+y\|^2 - 2^n\|x\|^2 \geq b(2^n - 1)\|y\|^2 + \|2^n x+y\|^2 - \|2^n x\|^2 $$

Ahora, sustituyendo $x$ para $2x$ tenemos $$ 2^n\|2x+y\|^2 - 2^n\|2x\|^2 \geq b(2^n - 1)\|y\|^2 + \|2^{n+1} x+y\|^2 - \|2^{n+1} x\|^2 $$ $$ 2^{n+1} [2( \|x + y/2\|^2 - \|x\|^2 ) ] \geq b(2^n - 1)\|y\|^2 + (2^{n+1})^2\| x+\frac{1}{2^{n+1}}y\|^2 - (2^{n+1})^2\| x\|^2 $$

$$ 2( \|x + y/2\|^2 - \|x\|^2 ) \geq b\frac{2^n - 1}{2^{n+1}}\|y\|^2 + 2^{n+1}\| x+\frac{1}{2^{n+1}}y\|^2 - 2^{n+1}\| x\|^2 $$

Resumiendo $b\frac{1}{2}\|y\|^2$ en ambos lados:

$$ b\frac{1}{2}\|y\|^2 + 2( \|x + y/2\|^2 - \|x\|^2 ) \geq b(\frac{1}{2}+\frac{2^n - 1}{2^{n+1}})\|y\|^2 + 2^{n+1}(\| x+\frac{1}{2^{n+1}}y\|^2 - \| x\|^2) $$ Aplicando la desigualdad para $n = 1$ $$ \|x+y\|^2 - \|x\|^2 \geq b(1-\frac{1}{2^{n+1}})\|y\|^2 + 2^{n+1}(\| x+\frac{1}{2^{n+1}}y\|^2 - \| x\|^2) $$

desde $\frac{1}{2}+\frac{2^n - 1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} (1 + 1 - \frac{1}{2^n}) = (1 -\frac{1}{2^{n+1}})$