No entiendo el producto cuña ni el álgebra de Grassmann. Sin embargo, he oído que estos conceptos son obvios cuando entiendes la intuición geométrica que hay detrás de ellos. ¿Puede dar este significado geométrico o nombrar un libro donde se explica?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
x-way
Puntos
196
Podrías plantearte volver a la fuente. Hay una buena traducción al inglés de la obra original de Grassmann, que se basa en su intuición geométrica de lo que ahora se llama álgebra multilineal y álgebras de Grassmann. Por supuesto, también hay que pasar por un montón de galimatías metafísicos y teológicos para llegar a las matemáticas. Pero las matemáticas son realmente brillantes. Durante mucho tiempo he pensado que sus ejemplos siempre me han convencido más que cualquiera de los textos modernos, ¡aunque los textos modernos tienen definiciones matemáticas mucho más claras! Realmente me gustaría que los textos modernos se escribieran con la claridad y el rigor matemáticos de ahora, pero con los desvíos hacia la motivación y la intuición que se ven mejor en los clásicos (es decir, los artículos matemáticos de principios del siglo XVIII a principios de la década de 1920).
Paul
Puntos
555
Voy a votar por el capítulo de Guillemin y Pollack de "Topología diferencial".
Básicamente, una forma-k debería ser algo que se pueda integrar sobre submanifolds k-dimensionales. Y no debería importar cómo las parametrizas. Eso significa que debería haber determinantes en la definición, ya que miden cómo cambia el volumen cuando cambias de coordenadas. El determinante de una matriz se anula al cambiar dos filas, así que una forma k debería ser antisimétrica de la misma manera. Eso es todo.
babubba
Puntos
1213
Supongo que Bott-Tu es un libro que hay que consultar. Pero probablemente mi favorito de todos los tiempos sea Geometría de las formas diferenciales, de Morita.
Oh, por supuesto siempre está el libro Smooth Manifolds de John M. Lee, que tiene una explicación lúcida y minuciosa de cada uno de los conceptos que introduce.
Para una breve explicación del significado geométrico de producto exterior, producto interior de una forma k y un vector l, dual de Hodge, etc., véase mi respuesta aquí: ¿Cuándo elegir una base?
La mejor referencia para estas cosas es Bourbaki, Álgebra, capítulo 3.
lcbrevard
Puntos
178
La mejor sinopsis, la desarrollada por un auténtico profesor, es la de David Hestenes, que no por casualidad desarrolló un plan de estudios relativamente completo en torno a ella, y un elegante simbolismo. El producto exterior es simplemente la extensión multidimensional de la noción de segmento de línea dirigida para incluir planos dirigidos y elementos de volumen dirigidos. William Clifford lo incorporó a la noción sorprendentemente sencilla de un álgebra geométrica, algo que ha sido un sueño de los matemáticos durante mucho tiempo. En uno de los acontecimientos más desafortunados de la historia de las matemáticas, Clifford murió de tuberculosis a la edad de 34 años, lo que desbarató sus ideas durante casi cien años y nos dio el extraño panteón de sistemas a menudo incompatibles que utilizamos actualmente.
¿Qué tiene el álgebra geométrica por elementos? Se llaman multivectores y tienen componentes escalares, vectoriales, bivectoriales (un plano dirigido) y, en general, multivectoriales. Clifford definió el producto de los multivectores como la suma del producto interno (punto) y el producto externo de Grassman. El álgebra geométrica se construye a partir de esta operación básica y de las reglas que la guían, siendo la clave que el producto exterior es antisimétrico: si se invierte el orden de los elementos del producto exterior, cambia el signo. Esta sencilla regla resulta ser la clave de uno de los mayores avances de la historia de las matemáticas y la física: un álgebra para manipular objetos en el espacio.
Al igual que los números complejos "etiquetan" las partes reales e imaginarias, los objetos del álgebra geométrica son "etiquetados" por los elementos de base, que se amplían para incluir no sólo elementos de base unidimensionales, sino también elementos de base multidimensionales: los planos dirigidos y los elementos de volumen mencionados anteriormente. Es una extensión extremadamente elegante y muy seductora del álgebra lineal para obtener un álgebra que unifique la mezcolanza de sistemas utilizados actualmente, incluyendo la geometría diferencial, el álgebra matricial, el álgebra vectorial y los tensores. No me lo estoy inventando, lo hace de verdad.
El álgebra geométrica también manipula objetos geométricos en el espacio sin tener que recurrir a coordenadas . Se trata de lo que los informáticos denominan un "envoltorio" para números complejos, vectores, rotores, espinores y los conceptos físicos derivados de estos objetos. En el primer artículo que leí, la tercera página estaba dedicada a demostrar, casi sin venir a cuento, que el álgebra geométrica tiene un isomorfismo casi trivial que es en todo equivalente a los números complejos . Pero hay más. Los conceptos difíciles de la física surgen de forma natural, casi casual, mediante la manipulación del espacio geométrico utilizando el álgebra. Su mayor ventaja puede ser ésta: Permite a los "especialistas" hablar entre ellos. Quién lo hubiera dicho.
Aquí tiene algunos enlaces: Hestenes, D. - Un lenguaje unificado para las matemáticas y la física Gull, S; Lasenby, A; Doran, C - Los números imaginarios no son reales - El álgebra geométrica del espaciotiempo Hestenes, D - Reformar el lenguaje matemático de la física Lasenby, J; Lasenby A; Doran, C - Un lenguaje unificado para la física y la ingeniería del siglo XXI
Nunca se insistirá demasiado en que el álgebra geométrica no es una técnica más. Es, por el contrario, un marco que lo abarca todo.
La mejor introducción matemática que he encontrado, hasta la fecha, es de Alan Macdonald, del Luther College de Iowa . Su documento de libre acceso, Álgebra geométrica y cálculo geométrico es excepcional, pero hay que estar preparado para dedicarle tiempo. Es riguroso y exhaustivo, y cada página es una nueva aventura a medida que se aprenden las operaciones del álgebra geométrica.
Macdonald también ha publicado recientemente (2009) Libro el primer texto de licenciatura que abarca tanto el álgebra lineal como el álgebra geométrica.
- Ver respuestas anteriores
- Ver más respuestas
5 votos
Para un enfoque muy concreto, puede probar las tres primeras secciones de arxiv.org/abs/0907.5356 (apuntes de un curso en KTH). Empieza así: "Comencemos con una introducción, en términos de lenguaje moderno, a las ideas de Hermann Günther Grassmann (1809-1877) y William Kingdon Clifford (1845-1879)".
0 votos
Derecha = -izquierda, arriba = -abajo. Describe lo que significa ir en una dirección coherente alrededor de un plano: (derecha ^ arriba) = (arriba ^izquierda) = (izquierda ^ abajo) = (abajo ^ derecha). Las direcciones anticomutativas resultan: (derecha ^ arriba) = -(arriba ^ derecha). La parte en cuña representa un plano. (eje x ^ eje y) es un operador de rotación. es la parte "i" de un número complejo. Es aún más obvio cuando se utiliza la multiplicación normal: punto más cuña. direcciones al cuadrado a 1. (arriba arriba) = 1. (derecha derecha) = 1. (4 derecha + 3 arriba)^2 = ((16 + 9) + (12(derecha arriba) + 12(arriba derecha))) = 25. Porque (derecha ^ arriba) = (derecha arriba)=-(derecha arriba).