Significado geométrico del álgebra de Grassmann

Question

No entiendo el producto cuña ni el álgebra de Grassmann. Sin embargo, he oído que estos conceptos son obvios cuando entiendes la intuición geométrica que hay detrás de ellos. ¿Puede dar este significado geométrico o nombrar un libro donde se explica?

Answer 1

La mayoría de los libros se limitan a introducir el formalismo del álgebra exterior y se sumergen directamente en las formas diferenciales, sin explicar realmente la interpretación geométrica del álgebra exterior de un espacio vectorial. Recuerdo que el libro de Harold Edwards,

http://www.amazon.com/Advanced-Calculus-Differential-Forms-Approach/dp/0817637079

lo explica todo muy bien.

Answer 2

Puedo recomendar la lectura del libro "Geometric Algebra For Computer Science, An Object Oriented Approach to Geometry". Cubre no sólo cubre el significado geométrico del Álgebra de Grassmann, pero aún mejor, Álgebra de Clifford.

Sobre su pregunta:

"Para ampliar las capacidades de representación del álgebra lineal, el capítulo 2: Spanning Oriented Subspaces introduce el producto exterior. El producto exterior de dos vectores es algebraicamente una 2-pala. En su interpretación geométrica más sencilla, este producto representa el subespacio bidimensional que pasa por el origen y está formado por los vectores, como se muestra en la figura 2.3 (izquierda). Un producto exterior de tres vectores es un 3 palas, véase la figura 2.3 (derecha). Un 3 palas representa el volumen abarcado por los tres vectores. Estas entidades geométricas ampliadas son ahora elementos básicos del cálculo algebraico. Utilizamos las palas de un álgebra geométrica para representar algebraicamente todos los primitivos geométricos. Los escalares en un espacio vectorial se representan como 0-cuchillas, los vectores por 1-cuchillas, y los elementos de área orientada son 2-cuchillas. En la Parte II, daremos interpretaciones enriquecidas a estas palas. Por ejemplo, en el modelo homogéneo 2-cuchillas se utilizan para representar líneas y 3-cuchillas representan planos; en el modelo conforme 3-cuchillas representan círculos, y así sucesivamente."

-- http://www.geometricalgebra.net/tour.html

Answer 3

Puede consultar

http://sites.google.com/site/grassmannalgebra

Existe un borrador de libro en pdf gratuito que trata el álgebra de Grassmann desde un punto de vista geométrico, y sin demasiada terminología matemática.

Answer 4

El ingrediente clave, en mi opinión, es darse cuenta de que el álgebra de Grassmann de un $d$ -espacio vectorial dimensional $V$ se ocupa principalmente de $d$ -de paralelótropos y que los paralelótropos de dimensiones inferiores no son más que bloques de construcción de $d$ -paralelotopos. Esto se explica en detalle aquí: http://jmanton.wordpress.com/2012/09/03/introduction-to-the-grassmann-algebra-and-exterior-products/

Todos los volúmenes son relativos. Actuamos como si no supiéramos cuál es la métrica subyacente en $V$ y sólo queremos hacer afirmaciones como "este paralelótopo es el doble de grande que aquel paralelótopo" si es cierto con respecto a todas las métricas, no sólo a una única métrica.

Dado que el volumen de un $d$ -es igual al cubo $d$ -de su longitud lateral, no es descabellado esperar que el volumen (con signo) de un paralelótopo (orientado) sea algún tipo de producto de sus longitudes laterales. De hecho, los axiomas de un "producto" de dos cosas coinciden esencialmente con los axiomas de una función bilineal, y el volumen de un paralelótopo viene dado por una función multilineal de sus lados, lo que lleva a la definición estándar del álgebra exterior en términos de mapas multilineales (alternantes). En cualquier caso, pensar en el volumen como un producto de longitudes permite intuir por qué la cuña producto se utiliza para definir paralelotopos.

La notación $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i$ debe entenderse que se refiere al paralelótopo realizado a partir de los vectores $v_1,\cdots,v_i \in V$ . Si $i < d = \dim V$ entonces el "volumen" del paralelótopo $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i$ es siempre cero; téngase en cuenta el punto clave de que el álgebra de Grassmann en $V$ es a priori preocupado por $d$ -volumen dimensional. Los paralelotopos de dimensiones inferiores no son más que bloques de construcción para los paralelotopos de dimensiones superiores. Por ejemplo, decimos $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i = w_1 \wedge \cdots \wedge w_i$ si y sólo si, para todo $u_1,\cdots,u_{d-i}$ es cierto que $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i \wedge u_1 \wedge \cdots \wedge u_{d-i} = w_1 \wedge \cdots \wedge w_i \wedge u_1 \wedge \cdots \wedge u_{d-i}$ donde este último significa los volúmenes (con signo) de los dos $d$ -son iguales (con respecto a cualquier métrica posible).

De ello se deducen ahora los resultados clásicos. Por ejemplo, $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i = \lambda w_1 \wedge \cdots \wedge w_i$ para algunos $\lambda$ si y sólo si, o bien ambos lados son cero porque son paralelotopos degenerados, o bien $\operatorname{span}\{v_1,\cdots,v_i\} = \operatorname{span}\{w_1,\cdots,w_i\}$ . Es a posteriori aceptable para interpretar $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i = \lambda w_1 \wedge \cdots \wedge w_i$ en el sentido de $i$ -volumen dimensional del paralelótopo $v_1 \wedge \cdots \wedge v_i$ es $\lambda$ veces el $i$ -volumen dimensional del paralelótopo $w_1 \wedge \cdots \wedge w_i$ pero la razón subyacente es que se comportan de la misma manera cuando se utilizan como bloques de construcción.

La importancia de pensar en términos de paralelotopos de dimensión superior radica en que, de otro modo, sería difícil explicar por qué $v_3 = v_1 + v_2$ no implica que la longitud de $v_1$ más la longitud de $v_2$ es igual a la longitud de $v_3$ . En el álgebra de Grassmann, los vectores y los paralelótropos de dimensiones inferiores no tienen vida propia independiente, sino que son principalmente bloques de construcción para los paralelótropos de dimensiones superiores. La suma de vectores en un álgebra de Grassmann se refiere a la suma de volúmenes de dimensión superior, no de volúmenes de dimensión inferior.

Answer 5

De http://arxiv.org/abs/0907.5356 :

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra tiene más fotos.