¿La cobertura universal de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ es difeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$?

Question

¿Es la cobertura universal de un subconjunto abierto conectado $U$ de Rⁿ difeomorfo a un subconjunto abierto de Rⁿ (estructura diferenciable estándar)?

Si no es cierto en general, ¿hay alguna condición en $U$ que garantice una respuesta positiva?

Answer 1

El subconjunto abierto $U$ es paralelizable y, por lo tanto, también lo es su cubierta universal. Un teorema clásico de Morris Hirsch dice que cualquier variedad abierta paralelizable $n$%-se puede sumergir en $\mathbb R^n$. Ahora uno podría preguntarse si cualquier variedad abierta paralelizable $n$-se incrusta en $\mathbb R^n$. Esto es formalmente más general que la pregunta original, por lo que podría ser más fácil producir un contraejemplo en este caso. También esta pregunta más general me parece más natural.

Answer 2

Un subconjunto abierto de (estándar) $\mathbb R^n$ tiene una métrica plana, por lo que su espacio de cobertura universal es una forma de espacio euclídeo simplemente conectada. La única cosa de este tipo es $\mathbb R^n$.