Demostrar que el número de clases de conjugación de un grupo finito $G$ viene dada por $ k(G) = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}{\left|C(g)\right|} $

Question

Esto me molesta mucho. Siento que tengo la idea correcta, pero no consigo que funcione.

El planteamiento del problema:

Demostrar que el número de clases de conjugación de un grupo finito $G$ viene dada por

$$ k(G) = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}{\left|C(g)\right|} \qquad (*) $$

utilizando el hecho de que $\left|G/C(g)\right|$ es el tamaño de la clase de conjugación de $g$ .

Dónde estoy:

Bien. Ya que las clases de conjugación se dividen $G$ tenemos que

$$ |G| = \sum_{g \in G}{\left|G/C(g)\right|}. $$

Además, podemos representar el orden de $G$ como el tamaño medio de sus clases de conjugación multiplicado por el número de clases de conjugación (esto es para llevar $k(G)$ en la imagen):

$$ |G| = k(G) \cdot \frac{1}{k(G)} \sum_{g \in G}{\left|G/C(g)\right|}. $$

Y, como cada $C(g)$ es un subgrupo de $G$ podemos utilizar el Teorema de Lagrange para obtener

$$ \sum_{g \in G}{\left|G/C(g)\right|} = \sum_{g \in G}{\left|G\right|/\left|C(g)\right|} = \frac{\left|G \right|}{\sum_{g \in G}{\left| C(g) \right|}} $$

ya que el orden de $G$ es obviamente una constante.

Por lo tanto, siento que todo lo que he declarado es válido, y sin embargo, estos no se puede poner juntos para obtener $(*)$ Por alguna razón. Cualquier ayuda aquí sería apreciada.

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{O}(g)$ denotan la clase de conjugación de $g\in G$ . Definir $$ f_{gh}=\begin{cases}1&\mbox{if }ghg^{-1}=h\\ 0&\mbox{otherwise.}\end{cases} $$ Ahora, $$\sum_g f_{gh}=|C(h)|.$$ Desde $|C(h)|=|C(h')|$ para $h'\in\mathcal{O}(h)$ tenemos $$\sum_{h'\in\mathcal{O}(h)}\sum_g f_{gh'}=|\mathcal{O}(h)||C(h)|=|G|$$ Dejemos que $\Gamma$ sea un conjunto de representantes de clases de conjugación distintas en $G$ Así que $|\Gamma|=k(G)$ . Entonces, \begin{align*} \sum_{h\in G}|C(h)|&=\sum_{g,h\in G}f_{gh}\\ &=\sum_{h\in\Gamma}\left(\sum_{h'\in\mathcal{O}(h)}\sum_{g\in G}f_{gh'}\right)\\ &=\sum_{h\in \Gamma}|G|\\ &=k(G)|G| \end{align*} Esto demuestra la afirmación.