Supongamos que consideramos la ecuación del calor $$\partial_t u = \Delta u, x \in \operatorname{int}D^2, t > 0$$ donde $D^2$ es el disco unitario cerrado en $\mathbb{R}^2$ , sujeta a condiciones de contorno de tipo Neumann $$\partial_\eta u(x, t) = A(t), x \in \partial M, t > 0$$ y la condición inicial $$u(x, 0) = u_0(x), x \in D^2$$ ¿Tenemos que tener necesariamente $$\partial_\eta u(x, 0) = \lim_{t \to 0} A(t) ?$$ ¿La respuesta es la misma para la ecuación de onda $$\partial^2_t u = \Delta u$$ con las mismas condiciones iniciales y de contorno?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, a menudo no es así. Las condiciones iniciales y de contorno pueden discrepar de forma natural en el borde. Por ejemplo, supongamos que tomamos una placa circular fría (temperatura $0$ ) y empezar a calentar sus bordes en el momento $t=0$ . Entonces la condición inicial es $u(x,0)=0$ mientras que la condición de contorno es $A_\eta(x,t)=A>0$ . Las condiciones iniciales y de contorno no coinciden a lo largo del borde del cilindro espacio-temporal, $\partial D^2\times \{0\}$ . Esto hará que la derivada normal de $u$ para ser discontinua en el borde. Pero será una solución perfectamente suave en el cilindro abierto $\operatorname{int} D^2\times (0,\infty)$ satisfará la condición inicial en $\operatorname{int} D^2\times \{0\}$ y cumplirá la condición de contorno en $\partial D^2\times (0,\infty)$ .
Lo mismo ocurre con la ecuación de onda.
